Equivalence

[sad13]

Bonjour, je voudrais montrer ce résultat svp :

f~g => log f ~log g merci

[Skullkid]

Ce résultat est faux sans hypothèses sur f et g.

[sad13]

f et g >0 biensûr

[Skullkid]

Non je parlais d'hypothèses non triviales (quoique...)

Pourquoi veux-tu montrer ce résultat ? Je ne pense pas que tu l'aies vu tel quel dans un livre de maths puisqu'il est faux...

Si tu veux un contre-exemple, 1 + x est équivalent à 1 + x² quand x tend vers 0, mais ln(1+x) n'est pas équivalent à ln(1+x²) quand x tend vers 0. Pose-toi la question de savoir pourquoi, dans ce contre-exemple, l'équivalence ne passe pas au log. Que faudrait-il comme hypothèse ?

[sad13]

Je l'ai trouvé ds un bon bouquin qui disait que f~g =/> exp(f)~exp(g) cependant c'est vrai pour le log.

sinon

ln(1+x) ~x en 0 et ln(1+x²)~x² en 0 d'où le quotient tendrait vers l'infini en 0?

[Skullkid]

Je t'ai donné un exemple qui contredisait le fait que log passe à l'équivalence. En effet, ln(1+x) est équivalent à x en 0, alors que ln(1+x²) est équivalent à x² en 0. Et tu sais bien que x n'est pas équivalent à x² en 0.

D'une manière générale, si f ~ g et si h est une fonction on n'a pas hof ~ hog. En revanche, pour certaines fonctions h particulières, il est possible, sous certaines conditions, de "composer" avec les équivalents. Ces conditions existent pour l'exponentielle, et elles existent aussi pour le logarithme.

Quelle définition as-tu de "f est équivalente à g en a" ?

[sad13]

plusieurs:

f~g en a i.e lim en a f/g=1 ou f-g=o(g)

cela c'est bien ça le calcul au lieu de 1 on aura l'infini?.

ben le livre est sérieux et ancien, shai pas et pour l'exp c'est quasiment faux en général. meric

[Skullkid]

Oui oui x n'est pas équivalent à x² en 0. Le quotient des deux ne tend pas vers 1, mais vers 0 ou l'infini selon qui est au numérateur.

La vraie définition c'est f-g = o(g). Elle est équivalente à f/g tend vers 1 dès que g ne s'annule pas dans un voisinage épointé de a, mais c'est bien la définition la plus générale. Autrement dit, f est équivalent à g signifie qu'il existe une fonction telle qu'au voisinage de a, et . À partir de cette écriture, on veut montrer qu'il existe une fonction tendant vers 0 en a telle qu'au voisinage de a, . Fais les calculs et tu devrais trouver l'hypothèse qu'il faut imposer sur f et g.