Raisonnement (Equivalence)

[fastandmaths]

Bonsoir,
Si je comprends bien l’équivalence ne serait pas un bon choix pour ce cas d 'étude, car à partir de ou plutôt après cette inégalitée, difficile de continuer dans le même cheminement ,en réalité ça mènerait nulle part encore moins à la démonstration voulue.
La seule possibilité pour ce cas c 'est l'implication ou sinon on choisit de jolie mot comme vous l'avez fait.

[Ben314]

Montrer que pour tout les positif non nul

Ce type de truc, si tu tient vraiment à le rédiger avec des implication/équivalence alors ce qu'il faut dire, c'est que :
(1) et cela, quelque soit (donc pas de condition)
(2) Un réel est strictement positif si et seulement si son inverse est strictement positif : .
(3) Le produit de deux nombre strictement positifs est strictement positif : .
Et là, ce n'est bien qu'une implication et pas une équivalence vu qu'un produit AxB peut être >0 sans forcément que A et B le soient (ils peuvent aussi être tout les deux <0).

[beagle]

Sur ne pas commencer par la fin, nous avons eu une telle discussion il ya quelques années.
Une personne avait mis un lien vers son site qui donnait de bons conseils pour rédiger correctement.
Mais comme toujours avec les rigoureux, on tombe facilement dans le rigide, et comme contrarien j' adore voir si le rigide tient bon.Sur que ça pète pas si j'appuie là???Bref j'avais mis des réseves justement sur cette partie là , ne pas partir de la fin.
Parce que franchement A = B = C = D = E = F
ou F = E = D = C = B = A
euh je ne vois pas vraiment pas la différence pour dire A=F
et idem si le = est le signe équivalence

S'agissant de l'implique dommage de ne pas avoir reçu le renfort de Pseuda et Ben314 à l'époque parce que le seul contre tous c'est pas toujours facile.

Alors il y avait plusieurs niveaux:
C'est marrant la phrase de ben314: "Et je vois absolument pas pourquoi il faudrait changer le symbole => en je sais pas quoi d'autre dans le cas particulier où la prémisse est connue comme étant vrai "
parce que perso j'avais vanné la chose suivante
Si énoncé alors ma conclusion, on me disait mais si A est faux!!!
Et je répondais si l'énoncé du problème 7 de la page 140 est faux, c'est qu'il faut faire le problème 12 de la page 152, sauf que celui-ci n'est pas à rendre pour lundi!!!

il y avait un niveau écriture le problème résolu comme l'a dit Pseuda, diffférent de je suis en train de le résoudre.Donc du si A quand j'essaye de résoudre, et du J'ai A donc pour l'écriture ensuite.Mouais bon, pourquoi pas. Mais je suis tellement attaché au SI truc dans une résolution de problème que je privilégie vraiment cette approche.Loes d'un problème de géométrie tu regardes et tu bouges les truc ça marche parce que… mais si le point truc était en dehors de alors ça marcherait plus etc...pour moi c'est vraiment la base bouger le machin. Je vois trop d'élèves bloqués avec du zéro manœuvre, c'est terrible.Que l'on soit en difficulté en disant j'y arrive pas parce quand truc ça va pas et qaund machin non plus.là ok .Mais le gars qui te dit et manifestement des fois cela se voit, il n' a pas bougé l'énoncé d'un pouce, ptain non.

Autre niveau ce sont les quantificateurs chers à Ben314.
C'est complètement dingue mais un type comme Robot qui aurait pu me donner des cours de maths jusque la fin de ma vie ne comprenait pas que j'étais une génération où
on pouvait écrire:
soit x appartenant à IR, si x sup 1 alors x² patati

alors que personne n'aurait compris au lycée l'écriture:
pour tout x appartenant à IR, si x sup à 1 alors …
de sorte qu'on ne pouvait pas embarquer dans l'implication du faux alors B
on utilisait toujours du si A vrai alors …
pour tout x si x sup 1 était charabiesque.

[Ben314]

C'est complètement dingue mais un type comme Robot qui aurait pu me donner des cours de maths jusque la fin de ma vie ne comprenait pas que j'étais une génération où
on pouvait écrire:
soit x appartenant à IR, si x sup 1 alors x² patati

alors que personne n'aurait compris au lycée l'écriture:
pour tout x appartenant à IR, si x sup à 1 alors …
de sorte qu'on ne pouvait pas embarquer dans l'implication du faux alors B
on utilisait toujours du si A vrai alors …
pour tout x si x sup 1 était charabiesque.

à, à mon sens, tu chipotte et c'est plus au niveau du Français que "ça fait pas beau" qu'au niveau mathématique vu que :
- Dans un truc de math, un phrase du style "Soit x appartenant à X. (point) On a blablabla", c'est évidement la même chose que "Quelque soit x appartenant à X on a blablabla" qui est la même chose que "Pour tout x appartenant à X on a blablabla".
Pour moi, la seule différence, elle réside dans le fait qu'au niveau compréhension, le "Soit x dans X ..." précise peut-être mieux qu'un choisi UN x dans X et qu'on va montrer je sais pas quoi pour CE x là et on conclura ensuite en disant que comme le x choisi, c'est en fait n'importe lequel, ben c'est que la propriété est vraie pour tout les x de X.
J'ai souvent eu l'impression que c'est ce truc complètement concon que certains étudiants ont du mal à comprendre au niveau de la logique des preuves : pour montrer que tout x de X vérifie un truc, ben on raisonne avec UN SEUL x, mais un x absolument quelconque.

[Pseuda]

Bonjour,

Je crois avoir enfin compris le problème avec le "implique", c'est qu'il s'emploie dans 2 sens différents :
Exemple : x=1 => x2-3x+2=0
* mais on ne sait pas si effectivement x=1, c'est le sens : si x=1, alors x2-3x+2=1
* x=1, on le sait, donc x^2-3x+2=0
d'où l'ambiguïté.

Ouaf. On coupe les cheveux en 4, mais à la lecture d'une démonstration bien rédigée, on fait bien effectivement le distinguo sans qu'il soit besoin de préciser dans quel sens on l'emploie.

Je suis tombée l'autre jour sur une démonstration, sans implique, avec tous les quantificateurs possibles, bien rédigée selon les normes, et je me suis demandée pendant 1 heure si elle était bien valable sur un point d'achoppement. J'aurais dû la garder pour recueillir les avis dans ce forum.

Tout cela pour dire que ce n'est pas un formalisme excessif et des règles appliquées consciencieusement qui font qu'une démonstration peut être décrétée valide, mais c'est le seul esprit humain (et pas une machine) qui peut en décider (ou non).

Mais c'est vrai que quand on dit aux élèves que pour une suite récurrente définie par u0 et u(n+1)=f(u(n)), dont ils n'arrivent pas à calculer u1, que la formule est valable quelque soit n, c'est magique, ils y arrivent !

[beagle]

Bonjour Pseuda, pas eu le temps de bien regarder ce que tu viens d'écrire, ma réponse pour le moment est à Ben314.
Ben314 dis que je chipote.C'est possible, ou bien j'ai faux, ou bien mes souvenirs sont vraiment périmés.

Donc je reprends en reformulant pour voir.
p implique q
ou
si p alors q

L'interdiction d'utiliser l'implique dans les démonstrations vient du fait que l'implication est vraie lorsque p est faux.
Sauf que de mon temps, qui est aussi celui de Ben314 a quelques années près le bac C devait ètre proche.
Donc de mon temps, l'utilisation au collège, au lycée de l'implication se faisait en prenant pour admis que p était vrai,
on ne faisait que du si p vrai, j'ai ou j'ai pas q?
Avec l'utilisation "normale" des logiciens de l'implique il faudrait préciser
Si p alors q et j'ai p vrai.

cela donne quoi pour les quantificateurs?
si je dis que p est (x+1) positif, alors q …
je dois bien dire à un moment si mon x est dans IN ou dans IR ou dans l'intervalle machin

Donc soit je le dis avant le montrer que p implique q.
En utilisant le "pour tout", "pour tout x de IR".
p implique q
forcément se pose le problème pour x = -2 , est-ce que p alors q?
Je pense, j'ai tort? que cela n'aurait pas pu ètre écrit ainsi de mon temps lorsque l'on ne joue que avec p vrai.

Donc je pensais m'en tirer avec "soit x appartenant à IR"

Sinon c'est que l'on utilisait uniquement le quantificateur à l'intérieur de p
p devenant:
pour tout x de IR tel que (x+1) positif
qui là est bien identique à
soit x de IR tel que (x+1)

Enfin bref, dès lors que l'on utilise l'implique avec du p vrai on ne peut pas se permettre d'emmener un potentiel p faux avec...Non?

[hdci]

Tout cela pour dire que ce n'est pas un formalisme excessif et des règles appliquées consciencieusement qui font qu'une démonstration peut être décrétée valide, mais c'est le seul esprit humain (et pas une machine) qui peut en décider (ou non).

Hum, oui et non.

Une démonstration rédigée de façon 100% formelle est forcément valide et un ordinateur peut le vérifier (il me semble que c'est ce que fait le logiciel COQ, mais je ne le connais pas).
Par contre, une telle démonstration (sauf dans des cas relativement simple) est rapidement illisible et c'est bien la rédaction claire et l'esprit humain comprenant le raisonnement et les "sous-entendus" qui peut en décider.

Quand on écrit , il y a deux lectures possibles :

• soit on est dans le formalisme pur. Auquel cas cela ne signifie pas du tout "Si A alors C", puisque la "vraie" lecture est , autrement dit "si A implique B, alors C (ou ce qui est strictement pareil, "Si "A implique B" est vraie, alors C est vraie").
  Mais en tout état de cause, A peut être vraie et malgré tout C peut être faux : par exemple, si B est faux.
  Exemple : est une proposition VRAIE
  
• Soit on est dans le cas "abus de langage / d'écriture" qui est le cas le plus généralement utilisé (sauf par les logiciens purs... encore que...) et on veut en fait dire que l'implication est transitive : on aurait dû en fait écrire
  Et en écriture formelle, cela donne cette tautologie
  
  Et on voit bien qu'enchaîner cela sur plusieurs lignes, cela commence à devenir illisible.

[beagle]

Pour le dire autrement, sans connaitre l'implique des logiciens avec p faux donne p implique q vrai,

avec les connaissances = l'utilisation du lycée que j'avais apprise:
pour tout x de IR
si (x+1) positif alors q

perso j'aurais répondu, NON,
il existe x = -2 pour lequel x+1 positif n'a pas de sens, donc l'implication n'existe pas.

[beagle]

si A vrai alors B vrai alors C vrai alors D vrai alors E vrai.
si A vrai alors E vrai.
Cela marche mieux que l'implique!!!!!!

et pour l'ordinateur if A then B ,...then E
certainement plus facile à programmer que le sens implique des logiciens.

[hdci]

Pour le dire autrement, sans connaitre l'implique des logiciens avec p faux donne p implique q vrai,

avec les connaissances = l'utilisation du lycée que j'avais apprise:
pour tout x de IR
si (x+1) positif alors q

perso j'aurais répondu, NON,
il existe x = -2 pour lequel x+1 positif n'a pas de sens, donc l'implication n'existe pas.

"il existe x : x=-2" pour lequel x+1 positif n'a pas de sens" n'est pas correct : la phrase correcte est "x+1 positif" est faux".

Un exemple "concret" de "FAUX implique FAUX" utilisé dans la "vie de tous les jours par tout le monde et compris par tout le monde (donc un "raisonnement correct") : quelqu'un vous raconte une belle ânerie (par exemple, je vous dit "je suis allé hier sur la planète mars"), et vous répondez "c'est ça, et moi je suis le pape".
Vous avez exactement fait le raisonnement correct "A implique B" : A ("vous êtes allé sur mars") implique B ("je suis le pape") ; comme le raisonnement est correct, et que la conclusion est manifestement fausse, c'est que l'hypothèse ne peut pas être vraie.
Par ce type de raisonnement vous dites exactement que vous ne croyez pas un mot de la belle ânerie "hier je suis allé sur mars"

Il n'est nul question d'avoir du sens ou non, mais simplement question de proposition vraie ou fausse.

[hdci]

et pour l'ordinateur if A then B ,...then E
certainement plus facile à programmer que le sens implique des logiciens.

Pas sûr : quand on programme IF (A) then (B) cela représente le fait que les instructions (B) sont exécutées si (A) est vraie, mais (B) n'a pas de valeur de véracité : cela ne représente pas une implication.

Si par contre je dois programmer la condition "A implique B", c'est-à-dire exécuter une séquence d'instructions si la phrase "A implique B" est vraie, alors j'écris "if (B) or (not A) then (...)"
La séquence ne s'exécute pas dans l'unique cas où B est faux et A est vrai, c'est-à-dire dans l'unique cas où A=>B est faux.

[beagle]

Pour le dire autrement, sans connaitre l'implique des logiciens avec p faux donne p implique q vrai,

avec les connaissances = l'utilisation du lycée que j'avais apprise:
pour tout x de IR
si (x+1) positif alors q

perso j'aurais répondu, NON,
il existe x = -2 pour lequel x+1 positif n'a pas de sens, donc l'implication n'existe pas.

"il existe x : x=-2" pour lequel x+1 positif n'a pas de sens" n'est pas correct : la phrase correcte est "x+1 positif" est faux".

Un exemple "concret" de "FAUX implique FAUX" utilisé dans la "vie de tous les jours par tout le monde et compris par tout le monde (donc un "raisonnement correct") : quelqu'un vous raconte une belle ânerie (par exemple, je vous dit "je suis allé hier sur la planète mars"), et vous répondez "c'est ça, et moi je suis le pape".
Vous avez exactement fait le raisonnement correct "A implique B" : A ("vous êtes allé sur mars") implique B ("je suis le pape") ; comme le raisonnement est correct, et que la conclusion est manifestement fausse, c'est que l'hypothèse ne peut pas être vraie.
Par ce type de raisonnement vous dites exactement que vous ne croyez pas un mot de la belle ânerie "hier je suis allé sur mars"

Il n'est nul question d'avoir du sens ou non, mais simplement question de proposition vraie ou fausse.

Bonjour hdci,
la question n'est pas là.
La question est oui ou non il y avait au lycée un usage de l'implication qui n'utilisait QUE le p vrai sans avoir a dire p vrai.
Donc aucun élève ne connaissait la définition de l'implique avec p faux,
ET on n' aurait pas mis un élève devant ce truc utiliser du p faux, sens commun, pas sens commun,
on ne mettait personne le nez sur des implications avec du p faux.

Si ce que j'ai dit est vrai, then.
Alors dans ces conditions aurait-on, faisait-on des entames du genre
pour tout x.
p implique q
avec un p non défini pour tout x
C'est possible, cela m'étonne, cela me met sur le cul que l'on fasse cela
et que jamais personne n'aurait dit mais monsieur je fais quoi pour x= -2?

[hdci]

La question est oui ou non il y avait au lycée un usage de l'implication qui n'utilisait QUE le p vrai sans avoir a dire p vrai.

J'étais en seconde C en 1979, et la première (ou les deux premières) semaine(s) étaient consacrées à de la logique élémentaire.
Nous faisions alors des tables de vérité et la table de vérité de A=>B était vraie sauf quand A faux et B vrai.
Puis on a appris qu'un raisonnement en math était une proposition "toujours vraie".
Donc montrer le théorème "A=>B" signifiait "montrer que A=>B est une proposition vraie", ce qui sous-entendait "si A est vrai alors B est vrai, sinon on ne sait rien dire de B"
Ce qui revenait à dire que pour montrer une implication on ne s'intéresse qu'au cas où l'hypothèse est vraie.

Au-delà de ça, je le présente à mes élèves sous cette forme : A=>B est identique à "Si A est vrai alors B est vrai et si A est faux on ne sait rien dire de B" et je le présente d'abord avec l'exemple "s'il pleut c'est qu'il y a des nuages", puis avec l'exemple

[beagle]

La question est oui ou non il y avait au lycée un usage de l'implication qui n'utilisait QUE le p vrai sans avoir a dire p vrai.

J'étais en seconde C en 1979, et la première (ou les deux premières) semaine(s) étaient consacrées à de la logique élémentaire.
Nous faisions alors des tables de vérité et la table de vérité de A=>B était vraie sauf quand A faux et B vrai.
Puis on a appris qu'un raisonnement en math était une proposition "toujours vraie".
Donc montrer le théorème "A=>B" signifiait "montrer que A=>B est une proposition vraie", ce qui sous-entendait "si A est vrai alors B est vrai, sinon on ne sait rien dire de B"

Au-delà de ça, je le présente à mes élèves sous cette forme : A=>B est identique à "Si A est vrai alors B est vrai et si A est faux on ne sait rien dire de B" et je le présente d'abord avec l'exemple "s'il pleut c'est qu'il y a des nuages", puis avec l'exemple

alors terminale C en 1981
perso c'était terminal C en 1974 ou 1975 je ne sais plus. J'ai été parait-il à cheval avec les maths modernes au collège?.
Bref je n'ai aucun souvenir des tables de vérité.
ce que je peux dire c'est que j'ai vérifié par un PDF lorsqu'on s'est battu sur l'implication sur ce forum , et il était clairement énoncé un usage au lycée de l'implique avec p vrai sans avoir à le préciser.
Et les raisonnements ne foiraient pas pour autant.
Simple convention d'écriture.
Par contre je suis sur et certain que l'équivalence c'était très clair si A alors B et si B alors A. cela très tot .
Donc lorsque je vois que l'équivalence rame sur le forum supérieur, je me pose des questions.

[beagle]

allez , encore une pour la route,
vanne ou provoc:
A vrai donc B vrai donne des infos sur B

A faux, ne donne aucune info sur B
Donc apprendre les tables de vérité et le A faux c'est utile pour ne rien savoir, ne rien apprendre.
Bon désolé, c'est les nerfs j'ai pas résisté.

Plus sérieusement avec des tables de vérité au lycée on fait quoi, on apprend quoi, cela sert à quoi.
Là c'est de l'innocence pure.

[hdci]

allez , encore une pour la route,
vanne ou provoc:
A vrai donc B vrai donne des infos sur B

A faux, ne donne aucune info sur B
Donc apprendre les tables de vérité et le A faux c'est utile pour ne rien savoir, ne rien apprendre.
Bon désolé, c'est les nerfs j'ai pas résisté..

Savoir que et savoir que , cela permet de savoir qu'on ne peut surtout pas en déduire que , qui est une erreur de raisonnement ultra-classique.

Donc "ne pas avoir d'information", c'est ici éviter de tomber dans une erreur-piège de raisonnement.

Plus sérieusement avec des tables de vérité au lycée on fait quoi, on apprend quoi, cela sert à quoi.
Là c'est de l'innocence pure.

Non c'est plutôt académique. Les tables de vérité permettent de connaître dans les situations ET, OU IMPLIQUE et EQUIVAUT A les cas où la proposition est vraie et ceux où elle est fausse.
Et cela permet de montrer pourquoi le raisonnement par contraposée est valide, ce qu'est un raisonnement par l'absurde (et il y a une petite nuance, beaucoup confondent contraposée et absurde), ce qu'est une condition nécessaire, suffisante...

Mais bien sûr on n'est pas obligé de passer par les tables de vérité pour "apprendre" tout cela mais à titre personnel j'ai trouvé que c'était un support intéressant (montrer formellement que NON(A ET B) c'est NON A OU NON B : immédiat avec une table de vérité ; de même que la négation d'une implication...)

Au passage, ce n'est plus fait au lycée, et je trouve que cela force à faire beaucoup de circonvolutions pour expliquer certains cas et surtout de ire "pourquoi cela marche tout le temps".

[beagle]

ok hdci cela semble intéressant en effet.

sauf le Savoir que x=2 implique x² = 4 et savoir que x différent de 2 , cela permet de savoir qu'on ne peut surtout pas en déduire que , qui est une erreur de raisonnement ultra-classique.
j'ai pas compris.

Ok compris.
mais bon pas besoin de l'implique faux pour ça.
mémé si toutes les aides au raisonnement sont bonnes à prendre .

[hdci]

L'erreur de raisonnement classique est de ne pas utilsier la contraposée, mais l'équivalence sans s'en rendre compte.

Si x=2 alors x^2 =4.

Erreur de raisonnement :
Donc si alors

Dans ce cas, on a "implicitement" utilisé l'équivalence (fausse ici)

Il y a des cas où ça marche : parce que l'implication qu'on manipule est en fait une équivalence.
Il y a des cas où ça semble marcher : parce qu'on n'arrive pas à trouver de contre-exemple et que tous les exemples qu'on trouve marchent.
C'est pour cela qu'il vaut mieux bien retenir qu'une implication ne donne une information directement utilisable que si l'hypothèse est vraie (condition suffisante), mais rien si elle est fausse.

[beagle]

oui j'avais fini par comprendre.
Donc ok cela renforce ce truc

Mais on l'obtient de manière très différente.
Si tu bosses les situations d'équivalence, si tu t'obliges à faire comprendre avec des exemples exos que l'équivalence c'est les deux sens,
ben tu ne fais pas cette erreur, il me semble

[hdci]

Si tu bosses les situations d'équivalence, si tu t'obliges à faire comprendre avec des exemples exos que l'équivalence c'est les deux sens,
ben tu ne fais pas cette erreur, il me semble

Tout à fait d'accord. Sauf que parfois, on oublie "un peu trop rapidement" la réciproque, et parfois l'équivalence est tous simplement fausse alors que l'implication est vraie (on ne peut pas "remonter") Mon prof de math de 1ère/Tale exigeait d'ailleurs qu'on écrive en français et pas en formule, pour éviter de mettre par réflexe un signe d'équivalence alors qu'on utilisait la déduction "donc", "alors"... et ce faisant, cela forçait à réfléchir sur le "si et seulement si" si on voulait vraiement raisonner en équivalence.

Un autre exemple que j'adore dans la manipulation des implications : je vais faire un raisonnement ci-dessous et je mets tout le monde au défi de trouver l'erreur de raisonnement. Je ne fais que des implications sans toujours le dire d'ailleurs.

Soit à résoudre dans :


Puisque on a
soit



Puisque on a
c'est-à-dire



Avec (1) et (2), il est manifeste que , et cela donne .

Bref, en remplaçant par 1 dans : , c'est-à-dire

(Petite précision au passage : je raisonne dans , car dans il y a une grossière erreur en plein milieu...)