Raisonnement (Equivalence)

[Greg1980]

Bonjour,

Je parcours en ce moment un livre de maths afin de réviser les concepts dans le but de se préparer à une licence.
Dans celui-ci est abordé la notion d'équivalence, soit cette définition :

"Deux propriétés P et Q équivalentes sont deux affirmations de la même chose, traduites de façons différentes. L'une est vraie si et seulement si l'autre est vraie"

Puis pour cette définition, l'exemple suivant est donné :
"être majeur en france" et "avoir 18 ans" sont deux propriétés équivalentes (en faisant abstraction des mineurs émancipés).

Cela ne me semble pas correct, selon moi la formulation aurait dû être "avoir au moins 18 ans", qu'en pensez-vous ?

Mon doute subsiste dans le fait de savoir si pour qu'une équivalence existe, il faut la présence de toutes les valeurs possibles :
exemple : x²-3x+2=0 ⟺ x=1 serait-il équivalent sachant que la valeur 2 de x donne le même résultat ?

Merci d'avance

[beagle]

bon sur les 18 ans c'est une façon de parler,
vous avez 18 ans? à l'entrée du cinoche, non j'ai 34 ans,
bon ben rentrez quand même
On considère que le 34 ans a ses 18 ans.
C'est utilisé tu as raison pour dire au moins 18.

[Pseuda]

exemple : x²-3x+2=0 ⟺ x=1 serait-il équivalent sachant que la valeur 2 de x donne le même résultat ?

Bonjour,

Bien sûr que non. On a seulement une implication dans un sens : x=1 => x²-3x+2=0. Mais c'est faux dans l'autre sens, car on peut aussi avoir x=2.

Dans le langage courant, "avoir 18 ans", signifie "avoir au moins 18 ans". On considère probablement que la condition pour être majeur est d'être passé par la case 18 ans, et une fois qu'on est majeur, c'est définitif.

[beagle]

Sur le fond du problème, je vais radoter, je vais ronger le même os,
ptain ce que c'est crétin un beagle.

Si l'équivalence comme de mon temps était dès le lycée, le collège?
si A alors B Et si B alors A
A implique B et B implique A,
ben tu trouverais évident la définition qui t'es donnée
si A vrai alors B vrai
et si B vrai alors A vrai

de sorte que ton équivalence avec les deux solutions du second degré, ben c'est une évidence que ça ne marche pas.

[Pseuda]

Si A, alors B
Si A vraie, alors B vraie
A => B

Tout cela, c'est bonnet blanc et blanc bonnet.

[beagle]

de sorte que se poser des questions sur l'équivalence pour preparer la licence,
ben cela étonne pour une notion qui était apprise bien avant l'année du bac.
Perso j'ai encore en mémoire un exo de mon prof de seconde sur ce sujet…
transformation d'une droite en une autre droite,...en seconde!

[beagle]

Si A, alors B
Si A vraie, alors B vraie
A => B

Tout cela, c'est bonnet blanc et blanc bonnet.

peut-être mais bonnet d'ane,
l'implique est une notion de logique
a ne pas utiliser au lycée
enfin on m'a fait la morale sur des pages et des pages de ce forum.
Car de mon temps si A alors B s'employait avec A vrai sans avoir à le dire…
et cela marchait bien!

[Greg1980]

Merci pour vos reponses

[Pseuda]

Si A....., c'est sous-entendu si A vraie.

Le implique ne me gêne pas, je l'utilise, tout le monde comprend.

[beagle]

Si A....., c'est sous-entendu si A vraie.

Le implique ne me gêne pas, je l'utilise, tout le monde comprend.

Que n'étais-tu pas là lorsque je me suis retrouvé seul à défendre l'implique de mon temps.
Il y avait contre moi, zygomatique, un autre prof enseignant au secondaire , skullkid , joker également nouvel agrégé et enseignant, un ou deux gars ayant fait des prépas et s'étant fait taper sur les doigts,...
enfin j'étais bien seul.

[Pseuda]

Quel était l'argument contre le "implique" ?

[beagle]

Quel était l'argument contre le "implique" ?

salut Pseuda,

Si j'ai bien compris,
pas d'utilisation de l'implique pour écrire sa démonstration lors de la rédaction d'un exo.
Ne pas dire si A alors B
Ne pas dire … implique… implique…

Le remplacer par:
A donc B

Ne pas utiliser l'implique pour le raisonnement (sic je crois que j'ai pas révé), c'est un connecteur logique qui dit …(non A ou B ?)

La raison c'est que si A est faux l'implication est vraie.
Sauf que comme je l'ai déjà dit jusqu'au lycée, on utilisait si A pour dire si j'ai A, si A est realisé alors regardons B.

Sur ce que j'en ai compris.

Et finalement pourquoi pas.
sauf que mon opinion c'est que changer un truc qui marchait (au lycée au moins, cela génait-il pour le supérieur???) pour le remplacer par un autre truc,
ben faut savoir si on ne perd pas autre chose.
Donc gagner de la rigueur, si c'est pour perdre des repères de raisonnement???
Perso je répète que mon avis sur les maths (de bas niveau?) c'est que cela repose sur des repères de sens, au sens sensoriel et non pas de sens cestquoicestqui,
donc l'équivalence c'est le double sens, je dois aller de A vers B et je dois pouvoir aller de B vers A,
quoi de mieux qu'une flèche d'implique pour aller de Avers B, et flèche autre sens pour aller de B vers A.

[Ben314]

Et finalement pourquoi pas.
sauf que mon opinion c'est que changer un truc qui marchait (au lycée au moins, cela génait-il pour le supérieur???) pour le remplacer par un autre truc,
ben faut savoir si on ne perd pas autre chose.

Si ça peut te rassurer, je suis dans le supérieur, j'y enseigne depuis 30 ans et je me suis absolument jamais gêné pour rédiger une preuve à coup de symbole =>.
Et je vois absolument pas pourquoi il faudrait changer le symbole => en je sais pas quoi d'autre dans le cas particulier où la prémisse est connue comme étant vrai (à part bien sûr pour embrouiller les élèves, ce qui semble être franchement à la mode dans le secondaire ces temps ci...)

Ca me fait penser à un (bon) élève que j'avais il y a une dizaine d'année et qui était complètement sec (et pour cause) sur un truc assez basique de calcul vu qu'il s'obstinait à vouloir partir des hypothèses pour arriver au final au résultat demandé. Je lui ait bêtement demandé pourquoi il ne partait pas du résultat (qu'il suffisait de développer pour montrer que c'était O.K.) et il m'a dit qu'au Lycée on lui avait dit que c'était interdit de partir du résultat...
Va chercher à comprendre ce qui a bien pu passer par la tête du prof. qui lui a dit ça...

[fastandmaths]

Bonjour

Je suis complètement perdu avec ces connecteurs logique, mon prof de cette année m'a toujours dit qu'on démontre les assertions soit avec l'un soit avec l'autre, j'entends par là l’implication ou l'équivalence et
c'est toujours à partir d'une hypothèse pour arriver jusqu' au résultat. Il m'a dit aussi que le "et" ou bien le" ou" pouvait déterminer le connecteur à utiliser dans certaines démonstrations.Franchement , j'hésite toujours autant avant de les employer sur ma copie et préfère mettre des donc ou des ainsi à tout va, pour éviter d'être sanctionné lourdement par le prof , même si je reconnais que ce n 'est pas du tout rigoureux comme raisonnement.
Dans les corrections de certain sujet sur la récurrence notamment, certains auteurs utilisent l'implication et d 'autres l'équivalence ..c 'est à ne plus rien y comprendre.J'allumerais un cierge le jour ou cette notion sera bien comprise ^^

[Pseuda]

Ne pas dire si A alors B

Même ça ? C'est pourtant on ne peut plus clair. Il y en a d'autres qui disent qu'il ne faut pas utiliser le "donc".

Tout cela est vraiment une perte de temps.... (qu'est-ce j'aime le moins dans les maths, la logique ou les statistiques ?)

Mais je n'ai toujours pas compris pour le "implique", et je ne vois pas trop la différence avec le "donc", qui lui donc serait recommandé. x=1 donc x²-3x+2=0, x=1 implique x²-3x+2=0, bof ça sonne pareil.

@Ben314 Rien de pire que de dire aux élèves : "il ne faut pas ...." sans qu'ils comprennent pourquoi. Le prof avait certainement raison de dire qu'il ne fallait pas partir du résultat pour remonter aux hypothèses (l'exemple typique est le raisonnement par récurrence où l'élève veut démontrer le rang n+1, donc il part de n+1, mais il ressent confusément qu'il lui faut remonter au rang n), mais le prof a oublié d'ajouter "dans sa copie". Il peut faire tous les raisonnements qu'il veut, mais il faut ensuite les présenter dans le bon ordre (rang n vrai => rang n+1 vrai, pas le contraire).

[Pseuda]

@fastandmaths

Pour la récurrence (ou pour tout autre raisonnement d'ailleurs), certains profs s'amusent à mettre des équivalences au milieu d'un raisonnement où il y a un implique. Cela peut donner l'illusion que c'est plus rigoureux, mais c'est complétement inutile en soi. En effet, dès qu'il y a un implique dans un raisonnement, on ne peut aller que dans un sens, on ne peut plus aller dans l'autre. Même si on peut aller dans les 2 sens un peu plus loin, cela ne servira à rien puisqu'à un endroit on ne peut aller que dans un seul.

Hypothèse vers résultat : on utilise le implique (on suppose que l'hypothèse est vraie, et on montre par des arguments logiques que le résultat est vrai)
Equivalence : on montre en une seule fois que la véracité d'une des 2 assertions entraîne la véracité de l'autre et réciproquement : x²-3x+2=0 <=> (x-1)(x-2)=0 <=> x=1 ou x=2.

Si on peut s'économiser à démontrer par équivalences, ce sera toujours privilégié sur la démonstration par hypothèse - résultat dans un sens puis dans l'autre, parce que c'est plus court (et plus élégant).

[fastandmaths]

Merci, Pseuda
je vous donne rapidement deux petits exemple de raisonnements avec ces connecteurs :Je vous laisse corrigé les erreurs le cas échéant.



Montrer que pour tout les positif non nul

1-

2-

merci,

[Pseuda]

C'est un peu embrouillé. Que faut-il montrer au juste ? Si c'est juste montrer que f(x) appartient à R+*, je ne vois pas l'intérêt de la comparaison à 1.

J'écrirais : pour tout x réel, 4^x >0 ; comme x>0, alors f(x)>0.

Sinon, les implications du 2) sont ok (mais encore faut-il rappeler x>0 pour la dernière implication).

Pour le 1), cette équivalence n'est pas montrée ou bien fausse, dans les 2 sens d'ailleurs :

1-

[Ben314]

Pour la récurrence (ou pour tout autre raisonnement d'ailleurs), certains profs s'amusent à mettre des équivalences au milieu d'un raisonnement où il y a un implique. Cela peut donner l'illusion que c'est plus rigoureux, mais c'est complétement inutile en soi. En effet, dès qu'il y a un implique dans un raisonnement, on ne peut aller que dans un sens, on ne peut plus aller dans l'autre.

Oui, mais à mon sens, c'est plus facilement lisible en mettant des équivalence là où il y a effectivement équivalence (et ou en général, c'est un simple calcul qu'on a fait) et en ne mettant des implications qu'aux endroits "cruciaux" où effectivement on a "perdu" quelque chose.
Et, à mon sens, c'est très exactement la même chose avec les égalités/inégalités où quand tu écrit , tu pourrait tout aussi bien écrire : ça ne serait pas faux et ça ne changerais rien au final à avoir que , mais je pense que c'est moins "lisible" la plupart du temps.

[Pseuda]

Le seul souci de mettre des équivalences là où il n'y en a pas besoin, c'est que cela peut troubler les élèves au début quand ils rencontrent cela. Mais bof, normalement cela doit passer assez vite.

Je nuancerais toutefois : quand il y a des égalités, cela parait vraiment bizarre de mettre des inférieurs ou égal, ou des supérieurs ou égal.