Equivalence

[jeje56]

Bonjour,

Dans la leçon 63 du Capes, je vois à plusieurs endroits le TH suivant :
Soit f de I dans f(I) strictement monotone. Alors f définit une bijection de I sur f(I).

Je me pose la question de la réciproque : si f est bijective de I dans f(I), alors f est strictement monotne...

Je dis : pour tout y,y' de f(I) avec y différent de y', il existe un unique couple (x,x') tel que : y=f(x) et y'=f(x') (x différent de x' nécessairement) ;
Supposons y>y' : alors si x>x', f est strictement croissante, si xDe même on distingue les cas si y
Est-ce correct ?

Merci !

[girdav]

Bonjour,
ce que tu veux faire est dire que pour tous ou bien l' antécédent de l'un est plus grand que l'autre ou bien l'inverse.
Mais rien ne dit que ce sera toujours "le même", c'est-à-dire toujours celui qui a l'image la plus grande ou toujours celui qui a l'image la plus petite.

[Doraki]

C'est correct mais largement incomplet pour montrer ce que tu veux montrer.
C'est pas parceque t'as trouvé 2 points x1 < x2 tels que f(x1) < f(x2), que f est strictement croissante.

Par l'absurde, si on suppose qu'il y a 3 points x1 < x2 < x3 avec
f(x1) < f(x2) > f(x3), alors le théorème des valeurs intermédiaires dit que f n'est pas bijective.
Après, c'est plus très dur de montrer proprement que f est strictement monotone.

[Ben314]

Je préciserais qu'évidement, pour pouvoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaire, il faut supposer que f est continue.

Il est peut être interesant de voir (avec un exemple) que, sans l'hypothèse "f continue", une fonction peut parfaitement être bijective de l'intervalle I sur l'intervalle J sans pour autant être monotone.