Equations differentielles non linéaires

[mimibeg]

Bonjour,

J'ai un exercice de math à faire qui me pose quelques problèmes
j'ai l'équation differentielle x'= x^3/(1+tx²)

On me demande d'abord de montrer qu'il s'agit en fait de 3 équations differentielles dans des domaines de R² (je n'ai pas compris cette question)

Ensuite en posant x1 une solution de cette équation differentielle on pose t->x1(t) est bijective de classe C1. On note alors sa réciproque x->t1(x). Montrer qu'en écrivant t'(x) dans l'équation x'= x^3/(1+tx²) on se ramene a une équation differentielle linéaire (E') la résoudre et en déduire les solutions maximales de x'= x^3/(1+tx²) en donnant leur intervalle de definition.

Enfin les équations (E') et x'= x^3/(1+tx²) sont elles équivalentes?

[Manny06]

Bonjour,

J'ai un exercice de math à faire qui me pose quelques problèmes
j'ai l'équation differentielle x'= x^3/(1+tx²)

On me demande d'abord de montrer qu'il s'agit en fait de 3 équations differentielles dans des domaines de R² (je n'ai pas compris cette question)

Ensuite en posant x1 une solution de cette équation differentielle on pose t->x1(t) est bijective de classe C1. On note alors sa réciproque x->t1(x). Montrer qu'en écrivant t'(x) dans l'équation x'= x^3/(1+tx²) on se ramene a une équation differentielle linéaire (E') la résoudre et en déduire les solutions maximales de x'= x^3/(1+tx²) en donnant leur intervalle de definition.

Enfin les équations (E') et x'= x^3/(1+tx²) sont elles équivalentes?

si on pose
dx/dt = x³/(1+tx²) on obtient dt/dx=(1+tx²)/x³ =1/x³+t/x
soit l'équat dif linéaire
t'(x)-(1/x)t(x)=1/x³
on resout d'abord l'équation sans second membre puis on fait varier la constante pour résoudre l'équation avec second membre