Equations differentielles linéaires

[barbu23]

Bonjour à tous,

Je voudrais savoir si le Théorème de Cauchy Lipshitz s'applique aux équations differenteilles linéaires d'ordre : , c'est à dire est ce qu'il y'a existence et unicité avec conditions initiales : pour tout ??

Merci d'avance. :happy3:

[arnaud32]

si tu essaie d'ecrire le theoreme dans ce cas la (RxRn), tu as quoi comme condition pour qu'il s'applique?

[barbu23]

si tu essaie d'ecrire le theoreme dans ce cas la (RxRn), tu as quoi comme condition pour qu'il s'applique?

J'en sais rien, car le théorème de Cauchy Lipshitz s'applique je pense uniquement aux equations de la forme :
Pour que le théorème s'applique,il faut que que soit localement lipshitzienne par rapport à la seconde variable? :happy3:

[mathelot]

Bonjour,

on peut déja poser z=y', ce qui diminue l'ordre de 1

et pis, il faut pouvoir résoudre en , donc prévoir des soucis en
qui annule

ceçi écrit, si les sont de classe , on récupère de la lipschitzianéité locale

[arnaud32]

tu dois effectivement travailler sur des compossantes ou t->a_n(t) ne s'annule pas et 'recoller' aux points d'annulation.
Sur chaque composante ou a_n(.) ne s'annule pas tu as peux transformer ton equation en:
.

tu poses alors de dimension n-1.
et tu poses A(t)comme la matrice qui ne contient que des 0 sauf sur la surdiagonale, ou tu mets des 1 et la derniere ligne ou tu mets les b_k, k=1 ,.. ,n-1

ton equation est devenue:
Z'(t) = A(t).Z(t)

[arnaud32]

tu dois effectivement travailler sur des compossantes ou t->a_n(t) ne s'annule pas et 'recoller' aux points d'annulation.
Sur chaque composante ou a_n(.) ne s'annule pas tu as peux transformer ton equation en:
.

tu poses alors de dimension n-1.
et tu poses A(t)comme la matrice qui ne contient que des 0 sauf sur la surdiagonale, ou tu mets des 1 et la derniere ligne ou tu mets les b_k, k=1 ,.. ,n-1

ton equation est devenue:
Z'(t) = A(t).Z(t)