Equations 3éme degré

[le_matheux]

Bonjour,
je pense avoir inventé 4 petites remarques et je voudrais savoir votre avis:

(E) az^3+bz²+cz+d =0
C.E=
a,b,c,d appartiennent a *^4

remarque 1:
Si:
c/a =d/b
c/a 0
alors
-(E) admet une unique solution dans
S;)={ sqrt(c/a)i; -sqrt(c/a)i; -b/a }

remarque 3:
Si:
b/a =d/c
d/b 0
alors
-(E) admet une unique solution dans
S;)={ sqrt(d/b)i ; -sqrt(d/b)i; -b/a }

est ce qu'on peut compter cela comme etant un théorème et est ce que cela est déjà connu ? dans le négatif, je vais poster la démonstration.

[Robot]

Au risque de te décevoir : tes quatre cas ne sont en fait que deux, puisque c/a=d/b équivaut à ad=bc équivaut à b/a=d/c.
Ensuite, on peut sans aucune perte de généralité supposer a=1 (quitte à diviser tous les coefficients par a). On fait l'hypothèse d=bc, et donc l'équation s'écrit
0=z^3+bz^2+cz+bc=(z+b)(z^2+c).
La conclusion sur les racines vient immédiatement.

C'est très bien de faire des manipulations algébriques pour s'entraîner. Mais franchement, appeler ça un théorème serait vraiment exagérer !