Polynôme du 3ème degré

[Zaitsev31]

Bonsoir tout le monde,

Voila je viens d'entrer en écolé d'ingé et venant de BTS les maths ne sont pas mon fort je viens donc vers vous car je bloque sur un exercice :

Je dois trouver un polynome de degré 3 à partir des coordonnées de ses racines qui sont : (-1;-4) et (3;2).

Je ne sais pas quelle démarche adopté, il me semble que la dérivé de ce polynome s'annule quand x=-1 et x=3 mais je ne vois pas comment trouver le polynome de départ,

le polynome aurait cette forme f(x)= ax³+bx²+cx+d
et sa dérivée f'(x)= 3ax²+2bx+c

Mais je ne vois pas quoi faire donc toute aide et surtout méthode est la bienvenue merci :)

bonne soirée

[chan79]

Bonjour
Qu'entends-tu par "coordonnées des racines" ?

[Zaitsev31]

Bonjour
Qu'entends-tu par "coordonnées des racines" ?

Et bien la prof nous a dessiné l'allure de la courbe au tableau en donnant les coordonnées des racines,
je vais essayer de mettre une photo de l’énoncé cela sera plus simple

[Zaitsev31]

Et bien la prof nous a dessiné l'allure de la courbe au tableau en donnant les coordonnées des racines,
je vais essayer de mettre une photo de l’énoncé cela sera plus simple

Voila pour plus de clarté :

[siger]

Voila pour plus de clarté :

Bonjour,
Comme les coordonnees des points que tu connais sont celles des points de contact des tangentes horizontales, utiliser la derivée est une bonne solution

Soit P(x) = ax³ + bx² + cx + d et P'(x) = 3ax² + 2bx + c , qui s'annule pour x = 3 et x=-1

On peut donc ecrire 3ax² + 2bx + c = 0 = (x-3)*(x+1)
en developpant le second membre et en identifiant les coefficients des puissances de x, on obtient a,b et c
D'autre part on sait que la courbe passe par le point (3,2) ce qui permet d'ecrire P(3) = 2 et de determiner d
.....

[Ericovitchi]

Et Zaitsev31 essaye de ne pas confondre racines et extremums.
les racines sont les abscisses où la courbe coupe l'axe des x. Rien à voir avec les extremums de la fonction.

j'aurais plutôt mis : On peut donc écrire 3ax² + 2bx + c = 0 = 3a(x-3)(x+1)
ou encore P'(3)=0 et P'(-1)=0 donne 27a+6b+c=0 et 3a-2b+c=0
mais ça ne donne que deux équations, ça ne permet pas de trouver a;b et c.

[Zaitsev31]

Déjà merci à vous deux pour vos réponse et au temps pour moi Ericovitchi je ne savais pas.

Je vais suivre votre raisonnement voir si j'arrive déjà à vos résultats et ensuite il va surement il y avoir une histoire d'intégrale pour retrouver le polynôme. je vais tester et je vous tiens au courant.

Encore merci

[Zaitsev31]

Déjà merci à vous deux pour vos réponse et au temps pour moi Ericovitchi je ne savais pas.

Je vais suivre votre raisonnement voir si j'arrive déjà à vos résultats et ensuite il va surement il y avoir une histoire d'intégrale pour retrouver le polynôme. je vais tester et je vous tiens au courant.

Encore merci

Et bien je me retrouve avec les mêmes équations que Ericovitchi sans savoir quoi en faire ....

Et quitte à passer encore plus pour une bille comment avez vous obtenu ca :
(x-3)*(x+1) et 3a(x-3)(x+1) une subtilité doit m'échapper car j'arrive au même résultats sans....

[deltab]

Bonsoir.

La connaissance de toutes les racines d'un polynôme ne permet de définir complétement mais seulement à un facteur multiplicatif près.. Si l'on pose , alors toutes les racines de T sont connues, ce sont celles de P.
Dans notre cas on peut écrire P(x)=3a(x-3)(x+1)=3a(x^2-2x-3). Le graphe tracé est celui d'une primitive Q de P vérifiant . Q va dépendre du coefficient inconnu a et de la constante d'intégration C. Le coefficient a et la constante C sont alors définis à partir des 2 conditions .
Remarque: Q(x) est croissant dans l'intervalle [-1,3], on en déduit donc que a<0.

[Zaitsev31]

Bonsoir.

La connaissance de toutes les racines d'un polynôme ne permet de définir complétement mais seulement à un facteur multiplicatif près.. Si l'on pose , alors toutes les racines de T sont connues, ce sont celles de P.
Dans notre cas on peut écrire P(x)=3a(x-3)(x+1)=3a(x^2-2x-3). Le graphe tracé est celui d'une primitive Q de P vérifiant . Q va dépendre du coefficient inconnu a et de la constante d'intégration C. Le coefficient a et la constante C sont alors définis à partir des 2 conditions .
Remarque: Q(x) est croissant dans l'intervalle [-1,3], on en déduit donc que a<0.

Bonsoir,

merci de ta réponse mais je ne vois toujours pas comment obtenir mon polynôme, trop de lacunes dans cette matière, j'irai reprendre ca de A à Z avec la prof

Merci de votre aide

[chan79]

tu dois résoudre un système

-a+b-c+d=-4
27a+9b+3c+d=2
3a-2b+c=0
27a+6b+c=0

[deltab]

Bonsoir.

Bonsoir,

merci de ta réponse mais je ne vois toujours pas comment obtenir mon polynôme, trop de lacunes dans cette matière, j'irai reprendre ca de A à Z avec la prof

Merci de votre aide

Ne te décourages pas trop vite.

On a la dérivée P(x), trouves toutes les primitives Q de P. celle cherchée doit vérifier et . Résous donc le système

[Zaitsev31]

Bonsoir.



Ne te décourages pas trop vite.

On a la dérivée P(x), trouves toutes les primitives Q de P. celle cherchée doit vérifier et . Résous donc le système

Bonsoir tout le monde, j'ai repris vos conseils à tête reposé et je pense avoir trouvé !

J'arrive bien avec un système à 4 équations :
f(3)= 27a + 9b +3c +d = 2
f(-1)= -a +b -c +d = -4
f'(3)= 27a + 6b +c =0
f'(1)= 3a -2b +c =0

Par substitution des deux premières ligne j'arrive à 28a + 8b +4c =-2

Ensuite je peux écrire que 27a + 6b = 3a-2b puisque les deux sont égales à 0

Et de la je trouve a= 1/3b
b=c
c=-3/32
donc a=-1/32

Me manque plus que d qui devrait pas tarder, vous pensez que je suis sur la bonne voie ou ai je fais une erreur quelque part ?

EDIT : a et bien ca ne marche pas en fait ....

[chan79]

Par substitution des deux premières ligne j'arrive à 28a + 8b +4c =-2

....

ce n'est pas -2, à droite

[Zaitsev31]

ce n'est pas -2, à droite

A le boulet sur mon brouillon j'ai mis 4 au lieu de -4 ...
c'est pas -2 mais 6 c'est reparti pour un tour lol

[Zaitsev31]

A le boulet sur mon brouillon j'ai mis 4 au lieu de -4 ...
c'est pas -2 mais 6 c'est reparti pour un tour lol

Ca me donne
a= 3/32
b=9/32
c=9/32
d= -125/32

Et si je ne délire pas cela fonctionne !!!

On a donc le polynôme suivant : (3/32)x³ + (9/32)x² + (9/32)x - (125/32)

[chan79]

Ca me donne
a= 3/32
b=9/32
c=9/32
d= -125/32

Et si je ne délire pas cela fonctionne !!!

On a donc le polynôme suivant : (3/32)x³ + (9/32)x² + (9/32)x - (125/32)

Je trouve a=-3/16

encore un petit effort de vérification :zen:

[Zaitsev31]

Je trouve a=-3/16

encore un petit effort de vérification :zen:

Erf où est l'erreur ... :mur:

Nous sommes bien d'accord que a= (1/3)b ?
et que 1/3 de 9/32 et donc bien 3/32 ??

[chan79]

Erf où est l'erreur ... :mur:

Nous sommes bien d'accord que a= (1/3)b ?
et que 1/3 de 9/32 et donc bien 3/32 ??

En fait, a=-b/3

[deltab]

Bonsoir.

@Zaitsev31

La dérivée de est et s'annule en et , f'(x) s'écrit donc aussi . En procédant par identification on aura: et donc Cette méthode a l'avantage de ramener le système de 4 équations à 4 inconnues à un système de 2 équations et 2 inconnues.