Equation tangente reciproque

[Gonra]

bonsoir,

j'essaye de résoudre une équation avec somme de arc tan mais en avançant je bloque

arctan(x+3)+arctan(x)+arctan(x-3)=3pi/4

arctan(x+3)+arctan(x-3)=3pi/4-arctan(x)

je prends le tan de tout :



x+3+x-3.............(-1-x)
____________=_______
1-(x+3)(x-3)...... (1-x )


2x(1-x)+(1+x)(1-(x+3)(x-3))
----------------------- =0
(1-(x+3)(x-3))(1-x)


2x-2x²+1+x-(1+x)(x²-9)
------------------------- =
1-x-(1-x)(x²-9)


-x^3-3x²+12x+10
------------------- =0
x^3-x²-10x+10

-x^3-3x²+12x+10=0

la je bloque

j'ai essayé de dériver puis tableau de variation pour essayer de trouver une solution facile mais ça me mène nulle part...
(la résolution d’équation 3 eme degré est hors programme)


Merci d'avance.

edit: les ...... au debut c'est juste pour espacé.

[siger]

bonsoir

plutôt

m = arctan a d'ou a = tan m
p= arctan b d'ou b = tan p

tan ( m+p) = (tan m + tan p)/(1- tan m* tan p) = (a + b)/(1- ab)
m + p = arctan a + arctan b = arctan ((a+b)/(1-ab))
d'ou arctan(x+3) + arctan (x-3) = arctan (2x/(10-x^2))

arctan x + arctan(2x/(10- x^2)) = arctan (2x/(10- x^2) +x)/(1-(2x^2)/(10-x^2))
.....
- x^3 -3x^2 + 12x + 10 =0

[deltab]

Bonjour

@Gonra

Je doute fort que tu puisses trouver la solution ( unique racine réelle donnée par une librairie de calcul formel intégré dans un traitement de textes, je n'ai donc aucun mérite) à moins de se lancer dans la méthode de Cardan.
Par contre l'existence de la solution (degré impair) et l'unicité de la solution peuvent être montrées et même trouver un encadrement de cette solution.

[Gonra]

Merci pour votre aide deltab
vous pensez que c'est possible de l'approcher par dichotomie ?
car la résolution de polynôme du 3eme degrés est hors programme je crois

[Charmander]

Bonjour
En fait, c'est plus simple que ça: t'as fait une erreur de calcul en te compliquant la vie à passer le membre de droite à gauche. Ici on a une égalité entre deux fractions, donc au lieu de passer le membre de droite à gauche et mettre au même dénominateur, ce qui est extrêmement long et générateur d'erreurs, pourquoi ne ferais-tu pas juste un produit en croix ?
Je trouve à la fin 3x^3+x^2-12x-10 = 0, ce qui amène à la racine évidente -1

[siger]

bonsoir,

Une erreur de calcul ?

m = arctan (x-3)
p = arctan (x+3)
tan (m+p) = (tan m + tan p)/( 1-tan p*tan m)
d'ou arctan (x-3)+ arctan (x-3) = arctan (2x/(10-x²))
arctan(x-3)+arctan(x+3) + arctan x = arctan [ (2x/(10-x²) + x)/( 1+ 2x²/(10-x²)] = 3pi/4
ou 2x +(10x-x³) / (10-3x²) = -1
d'ou
-x³ -3x² + 12x + 10 = 0
(sauf erreur!)

[chan79]

on y arrive avec la formule arctan a + arctan b= arctan((a+b)/(1-ab)) +k

[Gonra]

Merci pour votre aide , je trouve -5,-sqrt(3)+1,sqrt(3)+1 avec xcas
j'aurais pu trouver la racine -5 par tâtonnement.

[deltab]

Bonjour

Pour , on a ( est impaire et croissante alors que