Equation

[Sylar]

Bonsoir,j'aimerai bien savoir comment faire pour:

Trouver tous les couples d'entiers (x,y) tels que :

1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2

Good luck ........

[Mohamed]

le changement de variable t=2^x donne 1-y^2+t+2*t^2 = 0, on se ramène à une équation de second degré...

[Sylar]

Ah Ok merci mohamed.

[Sylar]

Oui mais c'est une équation en qu'elle varible ,y en a 2 ?




ps:JE me mélange les pinceau avec les 2 variables.....

[anima]

Il n'est pas interdit d'avoir plusieurs variables dans une équation diophantienne, c'est meme le but du truc! :hum:

[Babe]

oui pour un couple de solution c'est mieux quand il y a deux variables

[Sylar]

Donc je dois déterminer t puis x ,puis y ?


1-y^2+t+2*t^2 = 0

[yos]

Il y a la solution (0,2). J'ai envie de dire que c'est la seule...

[alben]

Presque, si x n'est pas nul, il n'est pas égal à 1,2,3
on peut poser (on montre facilement que y est impair si x>0)
cela donne
Soit k la plus grande puissance de 2 divisant z.
l'équation devient
Si k n'est pas nul, c'est le produit de deux impairs et A=1 ou 7 et 2x=4+k, on vérifie que ça ne colle pas. Donc k est nul et z est impair, donc multiple de 7.
Il est même exactement égal à 7 puisque c'est le seul facteur impair du membre de gauche
Il reste finalement qui admet une seule solution x=4 et y=23.
Ainsi, en se limitant aux entiers naturels, il n'y que 0 et 4 comme solutions
Tout cela est bien lourd, il doit y avoir moyen de faire plus direct :doh:

[Sylar]

C'est un exo d'olympiade internationale ,ca doit etre pour ca :zen:

[yos]

k est nul et z est impair, donc multiple de 7.
Il est même exactement égal à 7 puisque c'est le seul facteur impair du membre de gauche

C'est clair ça? 7 pourrait diviser la paerenthèse non?

Tout cela est bien lourd, il doit y avoir moyen de faire plus direct

C'est pas lourd, c'est parachuté (la définition de z laisse rêveur).

[alben]

C'est clair ça? 7 pourrait diviser la parenthèse non?

oui, tu as raison, auquel cas z=1 et 7 diviserait or aucune puissance de 2 n'est égale à -1 modulo 7

C'est pas lourd, c'est parachuté (la définition de z laisse rêveur).

Pourquoi parachuté ? J'ai simplement cherché un carré parfait dans le premier membre que j'ai soustrait de y de manière à ne laisser à gauche que des puissances de 2 et un facteur simple

[yos]

J'ai simplement cherché un carré parfait dans le premier membre que j'ai soustrait de y de manière à ne laisser à gauche que des puissances de 2 et un facteur simple

Cette bonne raison n'apparait pas forcément dans ton texte, mais c'est le lot des bonnes idées. Bien vu en tout cas.

[yos]

Je propose la variante suivante :
et .
y est impair : y=2u+1,
il vient .

Si u est pair, alors avec v impair et donc . Le premier membre est trop grand sauf si v<3, c'est-à-dire v=1 et ça ne marche pas.

Si u est impair, alors avec v impair et donc . Le premier membre est trop grand sauf si v<4, c'est-à-dire v=1 ou v=3 et seul v=3 marche.

[alben]

Oui, yos, c'est un peu moins lourd :we:
Il manque un -2 dans la 4ieme ligne, dans l'exposant de 2

[yos]

Merci je corrige.