Equation

[totololo]

Bonjour à tous et à toutes.
Pour nous faire travailler sur les équivalences, mon prof' m'a donné une série d'équations bébettes à résoudre, mais héhé voila, je bug -_- .
Une d'elle est la suivante:

;)(x²+1)+;)(x+1) = 3 . Le domaine de validité est [-1;+inf[ .

J'ai beau élever au carré avec vigilence et trifouiller cette écriture, rien ne vient. Merci d'avance pour votre aide .

[Ben314]

Salut,
Vu la formule, il va faloir que tu élève deux fois au carré pour te rammener à quelque chose de plus "standard", c'est à dire un polynôme.
Aprés, ben en fonction de la tête du polynôme (surtout de son degré), ben faudra aviser.
Attention aussi à ne pas oublier que A=B (A²=B² et A,B de même signe)

[euler21]

Salut
Déjà le terme à gauche de ton équation est celui d'une fonction continue strictement croissante donc l'équation admet une et une seule solution.

[Ben314]

Bon, effectivement, le polynôme que l'on trouve est de degré 4 et "pas trés sympatique"...
La seule solution (numérique) est x=1.158880166

[totololo]

Ok.. c'est ce que j'avais commencé à faire mais vu l'allure de l'expression que je trouvais, je me suis dis que je faisais fausse route.. à croire que non .

Cependant, pourrais-t-ton juste détailler un peu le calcul?

;)(x²+1)+;)(x+1) = 3 Comme le terme de gauche et de droite sont de meme signe, l'equation équivaut à (;)(x²+1)+;)(x+1)) ² = 9 , c'est à dire x²+x+2;)(x^3 + x² +x + 1) = 7 .
Petit probleme ici, comment élever au carré de nouveau en gardant l'équivalence ?

( <=> 2;)(x^3 + x² +x + 1) = 7 - x² - x mais les deux termes ne sont pas du meme signe ! )

[Ben314]

Si, c'est bien une des méthodes.
Arrivé là tu utilise A=B (A²=B² et A et B de même signe) pour écrire que :
2;)(x^3 + x² +x + 1) = 7 - x² - x
équivaut à :
4(x^3 + x² +x + 1) = (7 - x² - x)² ET 7-x²-x > =0
ce qui te donne le "fameux" polynôme de degrés 4 et une inéquation du second degré à resoudre.

Perso, partant de (x²+1)+;)(x+1) = 3, j'écrit plutôt (x²+1)=3-;)(x+1) qui conduit à :
x²+1=3²+(x+1)-6;)(x+1) ET 3-;)(x+1) > =0
qui permet d'avoir un "double produit" un peu plus simple (évidement, au final, on obtient la même chose...)

[totololo]

Je ne comprends la manière dont tu résouts l'équation, ou plutot dont tu conserves l'équivalence.
Tu écris " 4(x^3 + x² +x + 1) = (7 - x² - x)² ET 7-x²-x > =0 " , vu le domaine de validité, 7-x²-x peut très bien etre négatif ..Donc on ne peut pas revenir sur l'expression précédente en appliquant la racine, donc il n'y a pas équivalence. Non ?

[Ben314]

Ben si, justement : pour tout couple de réels A et B (de signes absolument quelconque), on a toujours équivalence entre
(1) A=B
(2) (A²=B² et A,B de même signe)
Le fait que (1) => (2) est évident et le fait que (2)=>(1) vient du fait que (A²=B²) (A=B ou A=-B) donc, si on rajoute "A,B de même signe" on a forcément A=B.

Arrivé à ce point, le fait que tu ait déjà écrit avant que x>=1, ne change absolument rien à l'équivalence.

Tu écris " 4(x^3 + x² +x + 1) = (7 - x² - x)² ET 7-x²-x > =0 " , vu le domaine de validité, 7-x²-x peut très bien etre négatif ...

OK, 7-x²-x peut être <0, mais vu l'équivalence en question, ben tu est sûr que lorsque 7-x²-x<0, ben x n'est pas solution de l'équation de départ.