Equation sur les polynômes

[jonses]

Bonsoir,

J'essaye de faire un exercice (assez long) traitant sur les polynômes. Mais voilà je suis bloqué à un endroit, et j'aimerais bien savoir comment faire pour "débloquer" :

-

On note pour tout , : l'équation d'inconnue

On note l'ensemble des polynômes non constants vérifiant

Soit

Soit

On suppose que ; je dois montrer que

-

Au préalable, j'ai déjà montré quelques résultats qui sont (à mon avis) utiles mais que je n'arrive pas vraiment à utiliser :

-en notant les racines nièmes de l'unité, on a

- tout polynôme de est unitaire
- est stable par produit

-Pour tout , si et ont même degré alors


Finalement, j'ai noté et

et j'ai seulement réussi à aboutir (je passe les calculs, qui sont rapides) à ce qui veut dire que l'un des facteurs est nul, mais le problème c'est que je me trimballe un et je n'arrive pas à m'en débarrasser pour avoir l'égalité

Si quelqu'un peut m'aider svp
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Maxmau]

Bonsoir,

J'essaye de faire un exercice (assez long) traitant sur les polynômes. Mais voilà je suis bloqué à un endroit, et j'aimerais bien savoir comment faire pour "débloquer" :

-

On note pour tout , : l'équation d'inconnue

On note l'ensemble des polynômes non constants vérifiant

Soit

Soit

On suppose que ; je dois montrer que

-

Au préalable, j'ai déjà montré quelques résultats qui sont (à mon avis) utiles mais que je n'arrive pas vraiment à utiliser :

-en notant les racines nièmes de l'unité, on a

- tout polynôme de est unitaire
- est stable par produit

-Pour tout , si et ont même degré alors


Finalement, j'ai noté et

et j'ai seulement réussi à aboutir (je passe les calculs, qui sont rapides) à ce qui veut dire que l'un des facteurs est nul, mais le problème c'est que je me trimballe un et je n'arrive pas à m'en débarrasser pour avoir l'égalité

Si quelqu'un peut m'aider svp
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

Bj
Pour tout x complexe , A(x)/B(x) est dans Un
Comme Un est fini, il existe w ds Un tq A(x)/B(x) = w pour une infinité de valeurs de x
A(x) = w B(x) pour une infinité de valeurs de x donc les polynômes A(X) et w B(X) sont égaux.
w=1 ??????
Je prends Q(X) = 1-X , Q(X²) = 1 - X² = (1-X)(1+X) = - Q(X)Q(X+2)
donc Q n'est pas ds S(0,2) alors que Q² y est. ?????

[Ben314]

Salut,
Tu es sûr que ton plynôme P n'est pas unitaire par définition c'est à dire que la question est "montrer que, si P est unitaire et si P^n est dans Sa,b alors P est dans Sa,b" ?
Parce que, sinon, j'ai bien l'impression que c'est faux : si on prend Q dans Sa,b puis P=omega Q avec oméga une racine n-ième de l'unité, alors P^n=Q^n donc P^n est dans Sa,b (vu que Q^n y est) et pourtant P n'est pas dans Sa,b si omega est distinct de 1.

[jonses]

Salut,
Tu es sûr que ton plynôme P n'est pas unitaire par définition c'est à dire que la question est "montrer que, si P est unitaire et si P^n est dans Sa,b alors P est dans Sa,b" ?
Parce que, sinon, j'ai bien l'impression que c'est faux : si on prend Q dans Sa,b puis P=omega Q avec oméga une racine n-ième de l'unité, alors P^n=Q^n donc P^n est dans Sa,b (vu que Q^n y est) et pourtant P n'est pas dans Sa,b si omega est distinct de 1.

Dans l'énoncé, c'est pas précisé. Et d'ailleurs je trouvais ça bizarre parce que j'ai eu le même raisonnement dans ma tête (mais je me suis pas dit si l'énoncé contenait des coquilles)