Equation pour trouver le centre d'une ellipse en fonction de

[djodjo2000]

Bonjour à tous

Je dois trouver le centre Xc Yc d'une ellipse (non centré sur l'origine) dont je ne connais pas la valeur du petit axe A et du grand axe B.

Étant donné l'équation d'une ellipse qui comporte 4 inconnues. Xc Yc A et B, je dois disposer de 4 équations.

(X-Xc)²/A² + (Y-Yc)²/B² = 1 ;equation ellipse sauf erreur de ma part

Je connais les coordonnées de 4 points appartenant à l'ellipse. Soit X1Y1, X2Y2, X3Y3 et X4Y4.

Ma question est simple mais la réponse peut être moins évidente.

Quelles sont les 2 équations exprimant.

Xc en fonction de X1Y1 X2Y2 X3Y3 et X4Y4.
Yc en fonction de X1Y1 X2Y2 X3Y3 et X4Y4.

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

jojo

[azertytreza]

(X-Xc)²/A² + (Y-Yc)²/B² = 1 ;equation ellipse sauf erreur de ma part

c'est l'équation de ton ellipse et elle est très simple à utiliser et ceci dit il vaut mieux car on ne connait que quatre points de cette ellipse et non cinq(auquel cas on se foutrait de tout il suffirait de connaitre ces cinq points pour tout déterminer)

comme on connait A et B on trouve facilement l'excentricité de ton ellipse

on notera l'excentricité de ton ellipse

mais il faut savoir si A>B ou si A<B (là tu n'a rien dit à ce sujet)

et alors on pourra écrire l'équation de ton ellipse autrement

je ne vais pas faire deux choses différentes selon que A>B ou B>A

donc j'attends ta réponse

ceci dit j'avance un peu (ça sera déjà ça qui ne sera pas à écrire)

et on notera F est l'un des deux foyers de ton ellipse

et on notera les coordonnées cartésiennes de ce foyer

et on notera la directrice associée à F

c'est là encore que l'on a besoin de savoir si A>B ou le contraire

en attendant de savoir on écrira
est l'équation cartésienne de cette directrice là

et on écrira ton ellipse autrement de la façon suivante

[azertytreza]

coquille corrigée sur l'écriture de l'ellipse à partir d'un de ses foyers

ceci dit j'en profite pour dire que sachant que A>B ou B>A l'écriture de la droite directrice (associée à ce foyer là) se simplifiera à tel point qu'en connaissant seulement quatre points de cette ellipse, on pourra tout déterminer

[lyceen95]

On ne sait pas si A<B ou bien B<A, puisque justement, on cherche A et B.
L'équation générale d'une ellipse, c'est effectivement (X-Xc)²/A² + (Y-YC)²/b² = 1 .... si le grand axe est horizontal ou vertical. As-tu la certitude d'être dans ce cas ?

[djodjo2000]

Bonjour

Avant tout un grand merci pour ta réponse rapide.

J'apporte des précisions.

Je ne connais pas A et B et ne sais pas Si A>B.
Par contre je suis capable de connaître un 5ieme point pour tout déterminer.

Si vous pouvez m'aider je suis preneur.

Merci d'avance

[fatal_error]

hi,

l'expression en fonction des points P_i ca a l'air assez galère (en tout cas j'ai pas le courage)
si une valeur approchée est ok, alors je suggèrerais de prendre le barycentre des points connus, puis de se rapprocher du centre ("désiré") avec une descente de gradient
on peut considérer l'erreur comme la distance des points à l'ellipse correspondant aux paramètres qu'on optimise, ou ptet plus simplement, la distance par rapport à 1 en injectant chaquun des points dans (X-Xc)²/A² + (Y-Yc)²/B²

[azertytreza]

réponse première partie (c'est long donc il me faut plusieurs posts)

Par contre je suis capable de connaître un 5ieme point pour tout déterminer.

ok pour moi

bon j'espère que tu n'est pas pressé ceci dit

j'espère aussi que tu ne va pas me demander des explications

j'espère que tu acceptera mes notations

ceci dit j'utilise le théorème de Pascal et qui est valable pour les coniques propres (c'est la seule chose que je dirai)

je n'ai pas envie d'expliquer et d'écrire en même temps (ceci dit quelqu'un d'autre peut t'expliquer le théorème de Pascal )

c'est long à écrire donc je fais ça en plusieurs posts

________________________________________________

notation spéciale

pour tout point P du plan on notera

ses coordonnées cartésiennes par rapport à un repère orthonormé

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bon avant tout (histoire de commencer car si je ne commence pas de suite je ne commencerai jamais)

les cinq points sur l'ellipse que l'on connait sont les points (et ils sont distincts deux à deux c'est limite idiot de dire ça mais pas pour moi)

il existe plusieurs méthodes de normalisation et je choisis la mienne

(je vais normaliser les rapports à partir du nombre d'or)

alors notation pour le nombre d'or

et ton ellipse sera nommée

____________________________________

on va construire deux applications et

ce seront des applications

tel que quel que soit un réel alors le point de coordonnées cartésienne appartiendra à

_________________________________

bon je reviens plus tard

[azertytreza]

réponse deuxième partie (c'est long donc il me faut plusieurs posts)

bon je reprends un peu

quand on aura construit ces deux applications on déterminera les neuf réels suivants



à ce moment là (et à ce moment là seulement) je te demanderai de réaliser un petit calcul et de vérifier que tu as bien



si jamais tu n'obtiens pas cette inégalité cela signifie tout simplement que ta conique n'est pas une ellipse

quand j'aurai écrit l'expression de ces neuf réels , je suis obligé d'attendre ta confirmation car les calculs qui viendront après dépendront de si ta conique est une ellipse ou pas

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bon histoire de continuer un peu (ça sera toujours ça de fait : je ne peux pas te dire quand j'aurai terminé d'écrire ces deux applications et ces neuf réels car j'ai une vie )

À propos de ces deux applications

on pose la notation de cinq réels







et que l'on exprimera plus tard

on vérifiera





















_____________________________________________

Avant d'écrire les deux applications

On propose la notation suivante

attention je ne me répèterai pas , cette notation n'est pas négociable) et je te demande de relire attentivement tout ce que j'ai fait i.e. mon post précédent (concernant la notation des coordonnées cartésiennes des points du plan) je n'ai pas envie de me répéter dans mon propos





_________________________________

Bon je reviens plus tard (j'ai une vie alors j'espère que tu n'est pas pressé)

[azertytreza]

réponse troisième partie (c'est long donc il me faut plusieurs posts)

J'avance un peu

Avant d'écrire les deux applications et

On propose (encore) la notation suivante

attention je ne me répèterai pas , cette autre notation (comme les autres précédemment données) n'est pas négociable et je te demande de relire attentivement
tout ce que j'ai fais :
i.e. mes deux posts précédent (concernant la notation des coordonnées cartésiennes des points du plan et concernant la dernière notation ) je n'ai pas envie de me répéter dans mon propos

précédemment on avait expliqué la signification des notations et

À présent on explique la notation



(donc pour comprendre celle-ci il faut comprendre l'autre d'abord et pour comprendre l'autre il faut comprendre la notation donnée pour les coordonées cartésiennes des points du plan que j'ai donné dans la première partie de ma réponse)

________________________

premier avertissement et il y aura un deuxième avertissement mais le moment n'est pas encore venu

Dans tout ce qui suit on suppose que les cinq points donnés appartiennent à une conique propre d'excentricité non nulle et de plus qu'ils sont bien distincts deux à deux

conique propre d'excentricité non nulle : i.e soit une ellipse soit une parabole soit une hyperbole

si ce n'est pas le cas on arrête tout de suite (inutile de continuer )

car ce que j'ai appelé des applications ne pourront pas l'être si cette condition n'est pas respectée



et sont deux applications de dans





À présent il faut exprimer les neuf réels



mais j'ai une vie donc j'arrête un peu et je reviendrai plus tard

[fatal_error]

hi

@ azertytreza
je vais peut être être démotivant, m'enfin.
Si tu considères le pb comme une minimisation de l'erreur (comme dans mon post de 23h46), alors par ex avec moindre carrés, (par ex lire https://www.scribd.com/document/1481916 ... -spherique)
t'as une s**load de sum, puis une inversion, et y faire à la main c'est pas ce qu'il y a de plus jubilant

par rapport à la descente de gradient que j'ai évoqué, la méthode est pas satisfaisante, (du moins avec la fonction d'erreur : f(x)=>sum(f_i(x)^2) et f_i([xc,yc,A,B]) = (xi-xc)^2/A^2 + (yi-yc)^2/B^2)
car converge ou converge pas vers l'optimum (mais j'ai fait une implem très naïve (le but étant d'être minimalistique mais ca suffit pas)...)

[azertytreza]

non ce n'est pas démotivant Fatal Erreur (après tout c'est moi qui ait promis de lui faire son bidule si il a les cinq points)

bon après j'aime la perfection bah sinon j'aimerai la psychologie, ce qui serait dangereux pour moi alors que je suis un adepte des hôpitaux psychiatriques comme client (et même client exigeant en ce qui concerne le bon fonctionnement des machines à café dans le milieu psychiatrique )

je lui fait un truc carré sans approx (mais c'est à lui de faire les calculs à la machine )

ceci dit là à la troisième partie de ma réponse il n'a encore rien à faire car je dois exprimer les neuf réels



mais j'ai une vie donc je reviens tout à l'heure pour la suite

[azertytreza]

réponse quatrième partie (c'est long donc il me faut plusieurs posts)

J'avance un peu

Je rappelle qu'à la troisième partie on avait donné l'expression des deux applications et

mais elles s'expriment avec les neuf réels



dans cette quatrième partie on va exprimer

ma normalisation (avec le nombre d'or) me permet de poser

et

attention ma réponse à Fatal Error m'a permis de te montrer (et c'est très utile) que je suis un maniaque

donc je te demande de bien regarder ce que je dis à propos de ces notations là

ce que signifient et dans mon propos

(je connais bien les humains* et je sais comment ils sont et comment ils posent des questions futiles qui ont l'art d'énerver les machines)

en ce qui concerne les réels

on pose

















Alors (avec ma normalisation)









En ce qui concerne les neuf réels

il reste encore à exprimer et

mais je reviens plus tard car j'ai aussi une vie

*oui je connais bien les humains et je sais qu'un humain mange des céréales (on va bien rigoler car le prochain rapport de la FAO sur la production des céréales est le 4 juillet prochain et quelque chose me dit qu'il va falloir que vous -les humains- soyez riches pour pouvoir en manger lol et les riches contrairement à ce que croit Macron ils ne sont jamais nombreux)

[azertytreza]

coquille avec les signes (j'ai corrigé sur mon post ceci dit)

[azertytreza]

réponse cinquième partie (c'est long donc il me faut plusieurs posts)

Dans cette partie on va exprimer et

et

pour ce faire on va aussi utiliser la notation



dont la signification est expliquée à la troisième partie (post du 23 juin 2019 à 12h32)

____________________

on pose les réels

selon















































Alors



mais aussi









je reviens plus tard pour la suite car j'ai une vie

pour la sixième partie il faut avant que j'écrive tout ça sur géogébra

comme ça si tu donne tes cinq points je pourrais demander à Géogébra de calculer

toutes les valeurs données ici à partir de tes cinq points

[azertytreza]

réponse sixième partie (c'est long donc il me faut plusieurs posts)

ceci dit là je suis obligé de t'attendre car c'est toi qui à les coordonnées de tes cinq points (pas moi )

et il faut que je puisse connaitre la valeur de

normalement elle est négative mais là c'est parce que je te crois quand tu dit que tes cinq points appartiennent à une ellipse mais il faut le voir pour en être certain

bon sinon en ce qui me concerne j'ai terminé de taper tout ce qui est écrit ici sur géogébra

(je pensais qu'il y avait encore une autre coquille mais elle n'était pas ici )

l'erreur je l'ai fait en tapant tout ça sur geogebra et elle était situé sur le

donc du coup j'explique ce que j'ai fait sur géogébra en deux étapes

1) taper tout ça et taper un curseur qui servira de variable pour mes fonctions f et g

et ces deux fonctions permettrons de donner la position d'un point appelé U

(ces deux fonctions sont en rouge et vert dans les deux images ci-dessous)

2) placer cinq points ABCDE et demander à geogebra d'utiliser son outil de traçage d'une conique par cinq points

ça me permet de vérifier de visu que mon point U sera toujours sur cette conique

dès lors qu'il la trace avec son logiciel

et quel que soit la valeur que prend la variable sur le curseur


ellipse

hyperbole


bon ici c'était pour une vérification (car une faute de frappe dans tout ce qui est écrit ici sur ce post

est difficilement détectable)

ceci dit ce n'est pas fini mais il fallait passer par là

à présent j'attends donc que tu viennes me donner tes cinq points

désolé mais je suis obligé car pour définir tout ce qu'il faut définir sur la conique je dois savoir

quelle est la valeur de

[azertytreza]

NB

ceci dit en attendant que tu livre tes cinq points

une propriété à remarquer :

Si les cinq points ABCDE appartiennent à une ellipse , une parabole ou une hyperbole alors obligatoirement
on vérifie toujours : 1) 2) 3)

1)



où ici comme on l'a vu si j'ai posé r=1 c'est parce que ma normalisation était telle que je voulais avoir r=1

i.e. les valeurs de ne sont pas uniques

2)

et

3)

[siewemonthea]

J´ai le même problèm que vous mais en plus du centre et des axes a determiné je dois aussi determiner le 5 ème paramètre alpha(angle d´inclinaison) Svp avez dèja une solution??????????????????

[GaBuZoMeu]

Pour en revenir au problème de djodjo, une petite remarque : si les quatre points sont cocycliques, alors les axes des coniques du faisceau déterminés par ces quatre points ont des directions fixes. Dans ce cas, ou bien seul le cercle contenant les quatre points répond à la question, ou bien toutes les coniques passant par les quatre points ont leurs axes parallèles aux axes de coordonnées.

[azertytreza]

J´ai le même problèm que vous mais en plus du centre et des axes a determiné je dois aussi determiner le 5 ème paramètre alpha(angle d´inclinaison) Svp avez dèja une solution??????????????????

Bah écoute ouvre un sujet

moi je répond à l'auteur de ce sujet (dans son sujet à lui) quand il a dit plus tard qu'il a un cinquième point

(de plus c'est à lui que j'ai promis de lui répondre et j'honore toujours mes dettes à moins d'être mort)

bah moi j'attends

selon ce qu'il a dit ils sont sur une ellipse mais je refuse de montrer le centre d'une ellipse si au final il vient et qu'on se rende compte qu'en fait c'était pas une ellipse mais une parabole voire une conique dégénérée

il fallait que je j'écrive tout ça et que je place tout ça sur géogébra pour que je puisse lui donner les valeurs numériques et que l'on vérifie bien les trois propriétés données ce matin

et enfin la valeur de qui si son truc est bien une ellipse devra être négatif

[GaBuZoMeu]

On peut employer la force brute.
On se donne quatre points dans le plan : . On suppose (ça ne mange pas de pain) et on note pour . On cherche la conique d'axe horizontal passant par les quatre points . Si l'axe horizontal de cette conique est la droite d'ordonnée , alors cette conique passe aussi par les symétriques de et par rapport à cet axe, qui sont les points et . On écrit que la matrice du système homogène qui exprime que les six points sont sur une même conique a un déterminant nul. Parmi les facteurs de ce déterminant on trouve et auxquels on s'attendait, et le facteur intéressant du premier degré en qui donne l'ordonnée de l'axe.

Voici le code du calcul en Sage :

Code: Tout sélectionner

R.<u1,u2,u3,v1,v2,v3,y>=PolynomialRing(QQ,'u1,u2,u3,v1,v2,v3,y')
A=[[u1,v1],[u2,v2],[u3,v3],[0,2*y],[u1,2*y-v1]]
def puis(pt) : return [pt[0]^2,pt[0]*pt[1],pt[1]^2,pt[0],pt[1]]
CC=matrix(5,5,[puis(pt) for pt in A])
P=CC.determinant().factor()
print "le déterminant factorisé :\n",P
Q=P[-1][0].polynomial(y)
print "ordonnée de l'axe horizontal :\n",-Q[0]/Q[1]

et voici ce que Sage répond :

Code: Tout sélectionner

le déterminant factorisé :
(4) * y * (v1 - y) * u1 * (-u2^2*u3*v1^2 + u2*u3^2*v1^2 + u1^2*u3*v2^2 - u1*u3^2*v2^2 - u1^2*u2*v3^2 + u1*u2^2*v3^2 + 2*u2^2*u3*v1*y - 2*u2*u3^2*v1*y - 2*u1^2*u3*v2*y + 2*u1*u3^2*v2*y + 2*u1^2*u2*v3*y - 2*u1*u2^2*v3*y)
ordonnée de l'axe horizontal :
(u2^2*u3*v1^2 - u2*u3^2*v1^2 - u1^2*u3*v2^2 + u1*u3^2*v2^2 + u1^2*u2*v3^2 - u1*u2^2*v3^2)/(2*u2^2*u3*v1 - 2*u2*u3^2*v1 - 2*u1^2*u3*v2 + 2*u1*u3^2*v2 + 2*u1^2*u2*v3 - 2*u1*u2^2*v3)

Le résultat un peu arrangé peut s'écrire
, avec numérotation cyclique des indices sur .

Si on veut l'abscisse du centre de la conique, il suffit bien sûr d'échanger les rôles de et .

On peut rentrer la formule ci-dessus dans GeoGebra pour vérifier que tout va bien. Bien sûr, suivant les positions relatives des quatre points, on peut avoir une hyperbole ou exceptionnellement une parabole.