Équation d'ordre deux a coefficient constant...bla bla bla

[Adsederq]

Bonjour, J'ai un petit probleme...
On me donne l'équation suivante :
y'' -0.02*y'+0,0001*y = 0

On me demande de trouver deux solutions de cette équations.
J'ai d'abord posé l'équations

X² - 0.02*x + 0.0001 = 0
b=-0.02
a=1
c=0.0001
[-b±(b²-4*a*c)^(1/2) ] / 2
b²-4ac dans ce cas si donne 0
Donc je me retrouve avec x1=x2=0.01
puisque y1 (une solution de l'équa diff.) est = e^(x1*t)
J'ai donc comme premiere solution : e^(0.01*t)

Je cherche y2 tels que y2=u(x)*y1 .... u(x) est une fonction de x qui est a déterminer

Donc :
y2=u*e^(0.01*t)
y2'=U'*e^(0.01*t) + 0.01*u*e^(0.01*t)
y2'' = u''*e^(0.01*t) + 0.02*u'*e^(0.01*t) + 0.0001*u*e^(0.01*t)
Je remplace dans l'équation de départ ce qui donne le monstre

u''*e^(0.01*t) - 0.02*u'*e^(0.01t) + 0.0001*u*e^(0.01*t) - 0.02*U'*e^(0.01*t) + 0.0002*u*e^(0.01*t) + 0.0001*u*e^(0.01*t)

En simplifiant je trouve :
[[[ U''*e^(0.01*t) + 0.02*U'*e^(0.01*t)+ 0.0001*U*e^(0.01*t) ]]] -0.02(y2')+0.0001*(y2) = 0
La partie entre paranthèse est la partie homogène et est donc égale a zéro non?
donc il reste :
-0.02*U'*e^(0.01*t) - 0.0002*u*e^(0.01*t) +0.0001*U*e^(0.01*t) = 0
Ce qui donne :
-0.02*U' = 0.0001*U
U' = -0.005 * U
du / u = -0.005*dt
ln | u | = -0.005* t + K K = 0 pcq j'veux une seule sltion
u = e^(-0.005*t)
donc je remplace dans y2 = u*y1
on a donc y2 = e^(t(-0.005+0.01))
y2 = e^(0.005*t)
Il s'ensuit que
Y = c1*y1 + c2*y2
Y = e^(0.01*t) + e^(0.005*t)
Mais ca marche pas! la réponse c'Est : y1 = e^(0.01*t)
y2 = t*e^(0.01*t)
Quelqu'un peut m'expliquer tout ca !?!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
:briques: :briques: :briques: :briques: :briques:

[cesar]

Bonjour, J'ai un petit probleme...
On me donne l'équation suivante :
y'' -0.02*y'+0,0001*y = 0

On me demande de trouver deux solutions de cette équations.
J'ai d'abord posé l'équations

X² - 0.02*x + 0.0001 = 0
b=-0.02
a=1
c=0.0001
[-b±(b²-4*a*c)^(1/2) ] / 2
b²-4ac dans ce cas si donne 0
Donc je me retrouve avec x1=x2=0.01
puisque y1 (une solution de l'équa diff.) est = e^(x1*t)
J'ai donc comme premiere solution : e^(0.01*t)

Je cherche y2 tels que y2=u(x)*y1 .... u(x) est une fonction de x qui est a déterminer

Donc :
y2=u*e^(0.01*t)
y2'=U'*e^(0.01*t) + 0.01*u*e^(0.01*t)
y2'' = u''*e^(0.01*t) + 0.02*u'*e^(0.01*t) + 0.0001*u*e^(0.01*t)
Je remplace dans l'équation de départ ce qui donne le monstre

u''*e^(0.01*t) - 0.02*u'*e^(0.01t) + 0.0001*u*e^(0.01*t) - 0.02*U'*e^(0.01*t) + 0.0002*u*e^(0.01*t) + 0.0001*u*e^(0.01*t)

En simplifiant je trouve :
[[[ U''*e^(0.01*t) + 0.02*U'*e^(0.01*t)+ 0.0001*U*e^(0.01*t) ]]] -0.02(y2')+0.0001*(y2) = 0
La partie entre paranthèse est la partie homogène et est donc égale a zéro non?
donc il reste :
-0.02*U'*e^(0.01*t) - 0.0002*u*e^(0.01*t) +0.0001*U*e^(0.01*t) = 0
Ce qui donne :
-0.02*U' = 0.0001*U
U' = -0.005 * U
du / u = -0.005*dt
ln | u | = -0.005* t + K K = 0 pcq j'veux une seule sltion
u = e^(-0.005*t)
donc je remplace dans y2 = u*y1
on a donc y2 = e^(t(-0.005+0.01))
y2 = e^(0.005*t)
Il s'ensuit que
Y = c1*y1 + c2*y2
Y = e^(0.01*t) + e^(0.005*t)
Mais ca marche pas! la réponse c'Est : y1 = e^(0.01*t)
y2 = t*e^(0.01*t)
Quelqu'un peut m'expliquer tout ca !?!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
:briques: :briques: :briques: :briques: :briques:

quand le trinome a une racine double, on a toujours des solutions de la forme
y1= e^r1*t et y2 = t*e^r1*t voir votre cours le sujet.

votre e^(0.005*t) est obligatoirement faux : il n'appartient pas à l'espace generé par les combinaisons lineaires de y1 et y2...

[cesar]

Je cherche y2 tels que y2=u(x)*y1 .... u(x) est une fonction de x qui est a déterminer

Donc :
y2=u*e^(0.01*t)
y2'=U'*e^(0.01*t) + 0.01*u*e^(0.01*t)
y2'' = u''*e^(0.01*t) + 0.02*u'*e^(0.01*t) + 0.0001*u*e^(0.01*t)
Je remplace dans l'équation de départ ce qui donne le monstre

u''*e^(0.01*t) - 0.02*u'*e^(0.01t) + 0.0001*u*e^(0.01*t) - 0.02*U'*e^(0.01*t) + 0.0002*u*e^(0.01*t) + 0.0001*u*e^(0.01*t)

En simplifiant je trouve :
[[[ U''*e^(0.01*t) + 0.02*U'*e^(0.01*t)+ 0.0001*U*e^(0.01*t) ]]] -0.02(y2')+0.0001*(y2) = 0
La partie entre paranthèse est la partie homogène et est donc égale a zéro non?

Ah ? vous êtes sur de vous ? moi je suis sur que votre affirmation n'est pas exacte.

simplifiez tout le bazar par e^0.01*t, cela allegera vos notations et vous verrez peut être mieux votre erreur. (n'oubliez pas y2' et y2....), vous verrez alors qu'il y a une solution evidente....
nota : la solution que vous devez trouver est u(t) = t...soit y2=u(t)*y1=t*y1

[Adsederq]

Ah ben oui, bonne idée de simplifier la je l'ai vue toute de suite -)
Ca marche!! yay
merci bien
Pour etre sur que j'me suis pas trompé...j'arrive avec
u'' = 0
donc u' = K
U = K*t + C
Comme je veux une seule sltion je pose k = 1 et C = 0
donc U = t ?
de la y2 = t*e^0.01*t
:we: