Equation fonctionnelles

[Dinozzo13]

bonsoir, j'aimerais résoudre l'équation fonctionnelle suivante :

où désigne un application de dans continue.

Je rencontre des problèmes surtout au début.

Voilà, ce que j'ai fait :

Si alors , ou .
Donc convient.
Supposons .
Si alors ;
Si alors ;

Je conjecture que pour tout entier naturel .
Mais je ne pense pas que cette conjecture puisse m'aider à trouver la forme .

Or le problème c'est quand je cherche , je trouve ou .
Et du coup je ne sais pas lequel garder ?

[Nightmare]

Salut,

pour commencer, as-tu une idée des solutions?

[Dinozzo13]

Bonsoir Nightmare

Salut,

pour commencer, as-tu une idée des solutions?

Ben, j'ai trouvé et .

[Nightmare]

Tu n'en vois pas d'autres?

[Dinozzo13]

Tu n'en vois pas d'autres?

J'aurai dit 1/x mais comme doit être continue sur ...

[Nightmare]

Effectivement, et que penses-tu de la fonction carrée?

[Dinozzo13]

Effectivement, et que penses-tu de la fonction carrée?

Ben alors dans ce cas, toutes les fonctions conviennent.

[Nightmare]

Oui, mais pas que... Que penses-tu de la fonction valeur absolue? Et la fonction ?

[Dinozzo13]

Ouais mais bon, il paraît y en avoir beaucoup.
Les énumérer toutes comme ça sans être sûr de toutes les avoir n'est pas très rigoureux :hum:

[Nightmare]

Non, mais peut être que ça pourrait nous donner l'idée d'une forme générique des solutions?

[Dinozzo13]

Je veux bien mais pour l'instant ...
Les fonctions puissances semblent convenir;
La valeur absolue;
Et ses combinaisons : .

Mais comment fais-tu pour trouver toutes ces solutions ?

[Nightmare]

Oui, mais globalement tout ça, ce sont des puissances de x et de la valeur absolue de x. Il faudra juste faire attention avec les puissances non entières aux soucis de domaine de définition.

Bref, maintenant qu'on sait à quoi s'attendre, il faut résoudre. Sauf erreur, il me semble que tu as déjà dû résoudre une équation vraiment similaire : f(x+y)=f(x)+f(y). Si c'est bien le cas, tu pourrais essayer d'en copier le raisonnement.

[Dinozzo13]

Exactement !

J'ai essayé d'adopter un raisonnement similaire mais ça bloque un peu, surtout pour .
Parce que si je conjecture , comment vérifier ?
Vu que je trouve deux valeurs pour .
Surtout qu'à un moment donné, on aurait , donc si on veut étendre de à , puis , ça pose problème.

[Nightmare]

Tu as déjà trouvé que soit f(1)=0 ou 1. Pour conclure, il te fallait juste observer que pour tout x , f(x)=f(x).f(1)

[Dinozzo13]

Je ne te suis pas :triste:

[Nightmare]

Qu'est-ce que tu ne suis pas? Tu n'es pas d'accord que f(x)=f(x).f(1)?

Si tu l'es, que donne cette égalité pour les différentes valeurs potentielles de f(1)?

[Dinozzo13]

Si je suis d'accord.
Si alors ;
Si alors .

Mais quel intérêt ?

[Nightmare]

Eh bien, tu as clos le cas f(1)=0 non? Tu peux donc continuer à travailler avec f(1)=1. C'est la même chose que ce que tu as fait pour f(0).

[Dinozzo13]

Eh bien, tu as clos le cas f(1)=0 non? Tu peux donc continuer à travailler avec f(1)=1. C'est la même chose que ce que tu as fait pour f(0).

Ah ben oui, suis-je bête.

Par contre, je rencontra à nouveau un problème.
une fois montré que pour tout n f(x^n)=[f(x)]^n, en l'étendant à Q, puis à R.
Ca ne donne pas les solutions qu'on a trouvé au début.