Equations fonctionnelles

par **Dinozzo13** » 31 Déc 2010, 19:09

Bonsoir, j'aurai besoin d'un peu d'aide pour m'entrainer sur les équations fonctionnelles.

Voici celle que j'essaie de résoudre :
Déterminer toutes les fonctions

telles que pour tout

et

:

.

Voici comment j'ai procédé.
Si

alors

Si on pose

alors

On en déduis donc que

est de la forme

Faisons la réciproque pour déterminer

:
Soient

et

,

:

donc

Mais après ça coince pour l'identification, merci de m'éclairer.

par **Zweig** » 31 Déc 2010, 19:13

Bah il faut que tu détermines un réel k tq pour tout couple (x,y) : x+y+2k = -x+y

Tu vois qu'un tel k n'existe pas, donc l'équation n'admet pas de solutions

par **Dinozzo13** » 31 Déc 2010, 19:20

Si ça je l'avais vu, mais je ne savais pas comment l'interpréter, ni si j'avais bon.

J'en ai traité d'autres si vous voulez bien (je les inventées donc je ne sais pas si elles ont des solutions)
(C'est toujours la même consigne)

On remarque d'abord que la fonction

convient.
si

alors

donc

Par contre f(1) ne peut-être déterminer directement.
Toutefois, j'ai remarqué que les fonctions linéaires de la forme

avaient l'air de fonctionner, donc j'ai essayé quelque chose.
Si

alors

mais là bloquage, que faire ?

par **Dinozzo13** » 31 Déc 2010, 19:22

Zweig a écrit:Bah il faut que tu détermines un réel k tq pour tout couple (x,y) : x+y+2k = -x+y

Tu vois qu'un tel k n'existe pas, donc l'équation n'admet pas de solutions

Ceci est dû au fait qu'on ait pas les même quantité de x à gauche et à droite ?
Cela aurait-il été pareil si le degré des termes en x soient différent ?

par **Euler07** » 31 Déc 2010, 19:26

Dinozzo13 a écrit:Si ça je l'avais vu, mais je ne savais pas comment l'interpréter, ni si j'avais bon.

J'en ai traité d'autres si vous voulez bien (je les inventées donc je ne sais pas si elles ont des solutions)
(C'est toujours la même consigne)

On remarque d'abord que la fonction convient.
si alors donc
Par contre f(1) ne peut-être déterminer directement.
Toutefois, j'ai remarqué que les fonctions linéaires de la forme avaient l'air de fonctionner, donc j'ai essayé quelque chose.
Si alors mais là bloquage, que faire ?

avec y = -x aussi

par **Dinozzo13** » 31 Déc 2010, 19:30

ok, si y= -x alors f(x)+f(-x)=0, la fonction est donc impaire, et donc ?

par **AL-kashi23** » 31 Déc 2010, 19:57

Bonsoir,

On va partir du principe que tu cherches les f continues qui vérifient ta relation

Que vaut f(n.x) avec n entier ?

Que vaut f(n) ?

Que vaut f(p/q) avec p et q entiers ?

Que penses-tu alors de f ?

par **benekire2** » 01 Jan 2011, 02:41

Salut c'est l'équation de cauchy, et ... que dire de mieux que Al Kashi ? :ptdr:

Sinon, va voir un topic que j'ai fait sur les endomorphismes de corps de R , ça peut être amusant ;) (il date d'il y a quelques mois déjà )

Sinon, si tu ne suppose plus la continuité ici il peut petre fun de voir a quoi peut ressembler une telle fonction qui n'est pas continue :we:

Bonne année ;)

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