Inégalité fonctionnelles

[chtirico]

Inégalités fonctionnelles dans R

On se propose d'étudier l'ensemble E des fonctions f de R ds R telles que :
Pour tout x,y dans R, f(x+y) < ou = f(x) + f(y) (i1)
Pour tout x,y dans R, f(xy) > ou = f(x) f(y) (i2)

On note f une fonction de E.

1a. Montrer que si f appartient E alors pour tout a ds [0, 1[, la fonction af appartient à E
J'ai su faire

1b. Montrer que pour tout x > ou = 0, on a f(x) > ou = 0
J'ai su faire

2. Déterminer les fonctions f de E, dérivables et telles que f(0) = 0. On pourra comparer [f(x+h) - f(x)]/h avec f(h)/h selon le signe de h et faire tendre h vers 0.
Pour la comparaison pas de soucis. J'arrive à f'(x) = f'(0). J'en déduis donc que f(x) = kx avec k = f'(0). Cette fonction vérifie bien (i1)
Pour qu'elle vérifie aussi (i2), il faut que (k - k²) xy > ou = 0 et là je suis bloqué

Dans la suite, on ne suppose plus que f(0) = 0 ni que f est dérivable.
3. On suppose dans cette question que f est impaire non identiquement nulle
3a. justifier f(1) = 1
OK

3b. Montrer que pour tout x,y ds R, f(x+y) = f(x) + f(y)
OK

3c. Montrer que pour tout entier n et tout x réel fixé, f(nx) = n f(x)
OK

3d. En déduire que si u est un rationnel alors f(u) = u.
Je suis bloqué.

3e. Montrer que si x < ou = y alors 0 < ou = f(y-x), en déduire que f est croissante.
Je suis aussi bloqué

3f. On suppose par l'absurde qu'il existe un réel x tel que f(x)
3g. En déduire les 2 fonctions impaires appartenant à E

4a. Montrer que si f est une fonction paire alors f est positive

4b. Déterminer une fonction paire non nulle et simple de E. En déduire l'existence d'une infinité de fonctions paires appartenant à E.

[Doraki]

Inégalités fonctionnelles dans R

On se propose d'étudier l'ensemble E des fonctions f de R ds R telles que :
Pour tout x,y dans R, f(x+y) ou = f(x) f(y) (i2)

On note f une fonction de E.

1a. Montrer que si f appartient E alors pour tout a ds [0, 1[, la fonction af appartient à E
J'ai su faire

La fonction x -> x est dans E, mais x -> x/2 non :
si f(x) = x/2, alors en prenant x=1 et y=-1 dans (i2) j'obtiens
f(-1) >= f(1)f(-1), donc -1/2 >= -1/4, donc 2 >= 4.
Ton énoncé n'est pas correct.

[digardel]

pour te débloquer en 3 d)
f (1/Q*q) = f (1)=qf(1/q)
donc f(1/q) = puis f(p/q)=
Pour la croissance c est presque immédiat

[chtirico]

merci pour ton aide, je ne pense pas à utiliser les questions précédentes ....
pour la 3e c ok aussi

pour la 3f, merci de vérifier:

Comme f(u) = u on a f(x) < f(u) < x. Or f croissante donc x < u < x ce qui est absurde. Donc f(x) > ou = x
De meme on suppose par l'absurde qu'il existe un réel x tel que f(x) > x et en prenant un rationnel u tel que x < u < f(x) on montre que x < u < x. Donc f(x) = x

pour la 3g, merci de vérifier:
f(x) = x et l'autre ?