Equation fonctionnele

par **benekire2** » 15 Juin 2010, 14:04

Bonjour,
je plante sur un exo qui concerne les équations fonctionnelles, et comme il est trop dur pour le lycée ( et que ça descend vite) et certainement trop simple pour les olympiades, je le poste ici.

Il s'agit de montrer que les applications continues sur R qui vérifient pour tout x et y:
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

satisfont que f''(x)=kf(x) pour tout x , avec k un réel.

Et le plus pénible c'est de montrer que f est deux fois dérivable ...
Comment faire ?

Merci !

par **Ericovitchi** » 15 Juin 2010, 14:17

Si tu veux, on trouve ça là

Et le corrigé est ici

par **Olympus** » 15 Juin 2010, 14:17

Vite fait, une solution particulière : f(x)=cos(x) .

J'ai pas encore préparé les équations fonctionnelles pour les olympiades, mais tu peux jeter un coup d'oeil sur "Functional equations and how to solve them" ( un .pdf traine sur le net ) .

par **miikou** » 15 Juin 2010, 14:34

benekire2 a écrit:Bonjour,
je plante sur un exo qui concerne les équations fonctionnelles, et comme il est trop dur pour le lycée ( et que ça descend vite) et certainement trop simple pour les olympiades, je le poste ici.

Il s'agit de montrer que les applications continues sur R qui vérifient pour tout x et y:
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

satisfont que f''(x)=kf(x) pour tout x , avec k un réel.

Et le plus pénible c'est de montrer que f est deux fois dérivable ...
Comment faire ?

Merci !

un grand classique

par **benekire2** » 16 Juin 2010, 09:06

Oui, ça sentait le grand classique ... :id: mais tu sais moi les équations fonctionnelles j'en ai pas fait beaucoup (encore ) !

Sinon, merci beaucoup ericovitchi ! Avec l'énoncé ... ça roule tout seul :++:
Mais bon, j'en conclu que tout seul sans indic, j'aurais probablement pas trouvé ..

PS: Le résultat trouvé est même plus fort que le mien :we:

Equation fonctionnele

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