Equation diophantienne

[Abilys38]

Bonjour,

J'aurais aimé avoir deux trois petits conseils pour démarrer mes premières equations diophantiennes.
J'ai essayé de factoriser mais ça ne m'a avancé à rien...

Merci!!!

[XENSECP]

Salut,


9/4 qui est un carré d'ailleurs...

[Abilys38]

Est ce que je suis dans le bon si je multiplie tout par 4 afin de de me débarrasser des fractions pour trouver des solutions dans Z uniquement?

J'ai une solution particulière: (x,y) = (2, 3) Mais je vois pas trop comment ensuite faire pour trouver l'ensemble des solutions?

[Ben314]

oui, c'est "le bon sens".
(modulo que je ne dirais pas que c'est "pour trouver les solutions dans Z", mais plutôt que c'est "pour avoir des coefficients dans Z")

[Abilys38]

Je sais pas si tu as vu mais j'ai modifé mon message entre temps

[Ben314]

Une fois utilisé l'indication de XENSECP et multiplié par 4, ton équation se réécrit , c'est à dire avec A et B entiers.
Tu vois pas quoi faire ensuite ?

[zygomatique]

salut

Salut,


9/4 qui est un carré d'ailleurs...

la dernière remarque montre qu'il n'est pas nécessaire de multiplier par 4 ...

par contre on peut réviser ses identités remarquables ... surtout quand on sait que la somme de deux impairs est paire ...

[Ben314]

la dernière remarque montre qu'il n'est pas nécessaire de multiplier par 4 ...

Il y a effectivement une méthode qui ne nécessite pas de multiplier par 4 (c'est d'ailleurs la première qui m'étais venu à l'esprit), mais je pense qu'elle est pas mal plus longue vu qu'il faut discuter en fonction du pgcd des deux facteurs...
(ou alors il y a une troisième méthode qui m'échappe pour le moment...)

[Abilys38]

Une fois utilisé l'indication de XENSECP et multiplié par 4, ton équation se réécrit , c'est à dire avec A et B entiers.
Tu vois pas quoi faire ensuite ?

Comme je disais, j'ai trouvé une solution particulière, mais je n'ai pas trouvé une solution globale. ..

[Ben314]

[Abilys38]

Avec cette méthode,
les solutions que je trouve sont (2; 3) et (-2; 3) et ça honnètement j'avais trouvé mais en fait je n'arrive pas à savoir comment prouver que ce sont les seuls (si ce sont les seuls??)

[Abilys38]

Ok c'est bon!
En fait j'ai factoriser en AB = 9 (en rajoutant 4x² dans les parenthèses de départ) puis puisque les diviseurs de 9 sont limités, il me reste plus qu'à vérifier avec ces différents cas pour A et B.

[zygomatique]

la dernière remarque montre qu'il n'est pas nécessaire de multiplier par 4 ...

Il y a effectivement une méthode qui ne nécessite pas de multiplier par 4 (c'est d'ailleurs la première qui m'étais venu à l'esprit), mais je pense qu'elle est pas mal plus longue vu qu'il faut discuter en fonction du pgcd des deux facteurs...
(ou alors il y a une troisième méthode qui m'échappe pour le moment...)

en fait après réflexion au moment d'aller bricoler au jardin je me suis rendu compte qu'il était plus facile de déterminer les diviseurs de 9 que ceux de x^2 ....

cependant on a

donc on en déduit que x = 3k +- 1 ...

mais bon ça me semble effectivement fastidieux ...

[Ben314]

C'est pas "archi fastidieux", mais... c'est plus long...
Arrivé à un truc de la forme x²=AB, ce qu'il faut faire, c'est poser d=pgcd(A,B) pour dire que A=dA' et B=dB' avec pgcd(A',B')=1 puis que x²=d²A'B' donc que d² divise x², c'est à dire que d divise x.
On a alors A'B'=(x/d)² ce qui, vu que A' et B' sont premiers entre eux, signifie que A'=a² et B'=b².
Donc en fait A=da² ; b=db² ; x=dab.

De plus, là, vu que A=3y-11 et B=3y-2, on a pgcd(A,B)=pgcd(A,B-A)=pgcd(A,9) ce qui fait qu'il n'y a que 3 cas à étudier : d=1 ; d=3 et d=9.

Sinon, pour rester très "terre à terre", vu la petitesse des nombres, on pouvait aussi écrire que B²=A²+9.
Or, le carré suivant A² est (A+1)² (en considérant A>=0) qui est égal à A²+2A+1 donc pour qu'éventuellement A²+9 soit lui aussi un carré, il faut que 2A+1<=9, c'est à dire A<=4 et ça fait pas des tonnes de tests à faire...

[zygomatique]

oui merci ...

[nodgim]

On peut aussi résoudre en discutant le delta de l'équation de départ. Il se trouve que ça s'arrange bien.