Resolution d'une equation diophantienne

[fantomas]

Bonjour,

Je bloque sur la démonstration de cet exercice :

On suppose que a et b, deux nombres positifs premiers entre eux. Il me montrer que l'équation suivante :

ax+by = (a-1)(b-1) = ab-a-b

n'a pas de solution dans les entiers positifs ou nuls.

Et la petite aide qu'il m'est donné est que l'équation peut également s'écrire :
a(b-1-x)=b(y+1) mais je n'arrive pas à débuter...

Je vous serait très reconnaissant si vous pouviez m'aider dans ce problème.

Merci.

[lapras]

salut
connais tu le théorème de Gauss ?
il faut utiliser le fait que a et b soient premiers entre eux.
Il y a une infinité de solutions à ton équations !

[fantomas]

Le fait que a et b soit premiers je l'utilise ainsi :

pgcd(a,b)=1 => ax +by = 1, mais je n'aboutis sur rien de concret...

[lapras]

Regarde sur google : lemme de gauss
ca te sera utile
pour les solutions dans les relatifs :
pour tout k relatif
y = a*k - 1
x = b(1-k)*1
alors (x ; y) solution
tu peux prouver que les solutions sont toutes de cette forme

[ThSQ]

C'est le fameux problème de Frobenius.

fantomas, comme pgcd(a,b)=1, b divise B=b-1-x en particulier ça implique que b <= B. blème

[fantomas]

Merci pour vos réponses...

Quand au théorême de Gauss je ne vois pas comment à partir de ça, je peut déboucher sur le fait qu'il n'y a pas de solutions positives...

En revanche pour la réponse de ThSQ, oui j'ai entendu Frobenius concernant mon problème:
b divise b-1-x certes mais à partir de b<=b-1-x, j'en déduis que x <=-1 d'où effectivement x n'est pas positif mais cela suffit-il pour la démonstration ?