Polynôme et équation diophantienne

[speedyk62]

Bonjour,

je suis en psi et j'ai un dm de maths à fournir prochainement. Voilà l'énoncé

1) Montrer l'existence de polynomes fn et gn dans Rn-1[X] tels que

(1-X)^n*fn(X)+X^n*gn(X)=1 (on pourra developper ((X-1)+X)^2n-1)


2) Préciser les Polynomes f1, f2, f3

3) Déterminer en fonction de fn et gn tous les couples (A,B) de polynomes de R[X] tels que (1-X)^n*A(X)+X^n*B(X)=1
Démontrer l'unicité de fn et de gn

1) et 2) fait mais la 3 je pense que c'est une équation diophantienne ((1-x)^n et x^n premier entre eux) (j'ai fait spé maths en terminal) mais sachant que l'année dernière j'étais en pcsi cette équation n'était pas au programme. Si vous pouvez m'aider en m'expliquant coment la résoudre.

après quelque recherche, je trouve :

avec le théorème de Gauss,

condition nécessaire : (k,k')²appartient à K[X], A=k*x^n + Fn et B=Gn -k*(1-x)^n

condition suffisante k=k'

est-ce bon ?

merci
Kévin

[fahr451]

bonjour

ça semble bien mais je ne vois nulle part de k ' ( déjà remplacé par k sans doute)

[speedyk62]

exact le ' manque mais avec k=k' sa reviens au même.

merci de votre réponse !
A bientôt