Equation différentielles

par **Azuriel** » 31 Mai 2008, 19:17

Bonjour alors voila j'ai un petit probleme pour résoudre un exercice sur les ED.

Le voici :

Trouver les f : R*->R derivable teles que pour tout x appartenant à R*, f'(x)=f(1/x).
Alors pour eviter l'emploi de valeurs absolu plaçons nous deja sur R+*.

Alors on voit qu'en fait les solutions sont C1 et donc en derivant on obtient une ED du second ordre résolu en y : y''+y/x²=0.

J'ai chercher des solutions de type x^alpha et apres résolution en complexe je suis arrivé a la condition nécessaire :

y(x)=Csqrt(x)cos((sqrt(3)/2)lnx). C constante

Apres je veux voir si c'est une condition nécessaire je calcul y'(x) et j'obtient y'(x)=(C/sqrt(x))*cos(Pi/3+(sqrt(3)/2)lnx)

Et donc j'ai presque l'expression y'(x)=y(1/x) mais j'ai le Pi/3 qui me gene..Merci de votre aide.

par **nuage** » 31 Mai 2008, 20:50

Salut,
Je crois que tu as oublié un terme en résolvant l'équation différentielle :
je trouve les solutions de la forme

Il reste à chercher la condition pour que

et je ne trouve pas

mais

Comme ça il me semble que la relation demandée est vérifiée.

Le tout sauf erreur de calcul de ma part.

par **Azuriel** » 31 Mai 2008, 20:56

Je me demande a quel endroit c'est..

Car en cherchant des solution x^alpha j'ai trouver un systeme fondamentale de solution qui est :

X^(1/2)exp((sqrt(3)/2)i*lnx) et X^(1/2)exp(-(sqrt(3)/2)i*lnx) et je crois que mon erreur se situe là car moi j'ai chercher a avoir la meme constante pour faire apparaitre un cosinus mais en fait je peux tres bien avoir des termes en sinus et cosinus..c'est cela ?

En tout cas merci a toi d'avoir pris le temps de résoudre le probleme

par **nuage** » 31 Mai 2008, 21:00

Je crois que c'est ça.
Au passage dans ce genre de cas on a toujours deux constantes (avec un sinus et un cosinus)
Cela provient du fait que quand on travaille dans C les constantes aussi sont complexes.

par **Azuriel** » 31 Mai 2008, 21:38

Exactement. Merci ;).

Juste une petite question d'ailleurs, pour une ED HOMOGENE alors on a toujours que si y est solution dans C alors Re(y) et Im(y) sont solutions dans R ?

par **nuage** » 31 Mai 2008, 21:51

A vue de nez je dirais oui, mais je n'en suis pas certain.

[modification]
En fait c'est évidement oui.
Si on pose

on a

etc...
je crois que j'étais déjà endormi hier soir.

par **Azuriel** » 01 Juin 2008, 11:43

Oui en effet cela était évident. Toujours dans le cadre d'exercice "type oraux" sur les ED j'ai quelques interrogation...

Les voici :

Dans un exercice on me demande si l'equation x²y''-2xy-+y=2(1+xsinx) a des solutions sur R.

Alors je crois avoir cerner le probleme dans le sens où on va pouvoir résoudre sur R+* et R-* et voir si il y a possibilité de recoupement de solution pour avoir des solutions sur R.

Cependant je me demande si il y a une astuce ou si il faut vraiment la résoudre car cela me semble assez compliqué..

On voit facilement qu'un systeme fondamentale en x^alpha va marcher et donc j'ai h1=x^(3+sqrt(5))/2 et h2=x^(3-sqrt(5))/2

Apres je recherche une solution particuliere en cherchant les fonctions a et b tel que f=a*h1+b*h2 avec a et b C1.

Le systeme étant 2x2 il est simple a inverser et donc a résoudre mais je tombe sur des expression de a' et b' pas tres sympathique à integrer...alors une meilleur solution ?

Equation différentielles

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