Équation différentielles

[Johnny_p]

Bonjour, Voici le probème :

Soit dN/dt=r*N*(1-(N/K)), où r est une constante de proportionnalité et k une limite pour la population.

Question : Résolvez cette équation avec N(o)=N indice 0

Est-Normal que j'obtient N(t)-1/e^(R*T) est que toutes les constantes disparaîssent.

Merci beacoup de l'aide

[LN1]

Bonsoir,

non, ce n'est pas normal.
Pense à poser u(t) = 1/N(t) et trouve d'abord la fonction u

Bon courage

[Anonyme]

J'obtient comme équations différentiel ceci :


N(t)=(K*(e^(r*t))/((e^r*t)+k.c)


Je comprend pas pourquoi lorsque je résoud avec N(o)=N indice o que toutes les constantes disparaîssent.

Merci de l'Aide LN1

[Chimerade]

Bonjour, Voici le probème :

Soit dN/dt=r*N*(1-(N/K)), où r est une constante de proportionnalité et k une limite pour la population.

Question : Résolvez cette équation avec N(o)=N indice 0

Est-Normal que j'obtient N(t)-1/e^(R*T) est que toutes les constantes disparaîssent.

Merci beacoup de l'aide

Ben, quand on intègre une intégrale simple, normalement on a une constante à définir qui traîne et la précision d'une condition initiale, détermine la constante, ce qui fait que tout est bien défini. Mais, je ne trouve pas ce que tu trouves...









En intégrant :



La constante C restant à déterminer.











Faisons intervenir la condition initiale :





On peut alors remplacer la constante C par sa valeur dans l'équation :










... sauf erreur !

EDIT : Message corrigé suite à l'aimable intervention de LN1 : merci à lui.

[Galt]

Cette équation a fait couler beaucoup d'encre, c'est le sujet du bac S 2003 (avec un exercice de géométrie dans l'espace, dont la première question, niveau seconde, na pas été traitée par la moitié des candidats). Elle est aussi tombée en 2005, mais avec des valeurs numériques au lieu de paramètres. Je l'attends de pied ferme pour 2007.

[LN1]

J'obtient comme équations différentiel ceci :


N(t)=(K*(e^(r*t))/((e^r*t)+k.c)


Je comprend pas pourquoi lorsque je résoud avec N(o)=N indice o que toutes les constantes disparaîssent.

Merci de l'Aide LN1

Ta formule est bonne
si tu y remplaces t par 0 tu obtiens la condition

ce qui donne

puis en remplaçant dans N(t) et en multipliant numérateur et dénominateur par N_0


(Chimerade a fait une petite erreur de signe avant de faire intervenir la valeur initiale)

[Anonyme]

Que deviendrait l'équation si on dit :

r= 1/5 , k=2000, n(0)=1500 et que l'on suppose qu'on enlève 125 espèces à chaque années.


dn/dt=(1/5)*N*(1-(N/2000))-125


J'apprécie beaucoup votre aide à tous,

merci encore

[Chimerade]

(Chimerade a fait une petite erreur de signe avant de faire intervenir la valeur initiale)

Aucune erreur n'est petite ! Nous dirons qu'elle est rapidement corrigée...par toi !

Tu as raison, j'ai fait une erreur !

Désolé !

[Anonyme]

Que deviendrait l'équation si on dit :

r= 1/5 , k=2000, n(0)=1500 et que l'on suppose qu'on enlève 125 espèces à chaque années.


dn/dt=(1/5)*N*(1-(N/2000))-125


J'apprécie beaucoup votre aide à tous,

merci encore

Est-ce correct d'obtenir ceci:


(arctan(n-1000))/2000=c-(t/4000)

[Chimerade]

Est-ce correct d'obtenir ceci:


(arctan(n-1000))/2000=c-(t/4000)

Non ! Si tu différencies cette expression tu verras que tu ne retombes pas sur la même équation différentielle !

Cela dit, tu t'es peut-être trompé sur les parenthèses... Relis bien, compte-tenu des parenthèses que tu as écrites, ton expression est :



J'ai essayé l'intégration moi-même :

Je trouve :

Pour t=0, on obtient bien :


Et en différenciant, on obtient :











Mais je ne suis pas à l'abri d'une erreur (voir ci-dessus !)

[LN1]

J'obtiens bien

avec un domaine de validité troublant :
doit rester dans l' intervalle . Troublant car on peut penser que t est un temps variant sur

Je ne suis pas d'accord sur la constante : pour t= 0, on a N = 1500 donc


Une solution du problème mathématique serait
avec


Mais il s'agit d'un problème pratique donc N ne peut pas être négatif, donc donc


Au temps , la population s'éteint et la loi ne s'applique plus.

[Chimerade]

Je ne suis pas d'accord sur la constante : pour t= 0, on a N = 1500 donc

Et tu as encore raison ! Qu'est-ce que je suis distrait ces temps-ci !

Merci LN1 !