[Problème] Équation différentielles d'ordre 1

[Majaspique]

Bonjour,
J'ai quelques soucis avec ce problème :

Partie I
On considère l'équation différentielle (E) : et l'équation homogène associée (H) :

1°) a) Résoudre (E) sur les intervalles

Recherches :

Soit I un intervalle tel que .

(H) s'écrit alors sous forme normalisée :

Une primitive de est c'est-à-dire :

Donc (je ne sais pas sauter de lignes dans les accolades en LaTeX)

b) Quelles sont les fonctions dérivables sur et solutions de (H) ?

Ce n'est pas déjà l'ensemble que j'ai donné question précédente ? Ou alors j'ai du mal comprendre cette question ou la précédente.

Merci d'avance pour votre aide !

[Mimosa]

Bonjour

D'abord, tu as divisé par x(x-4) sans te demander si c'est nul, puis tu as pris la racine de x(x-4) sans te poser de question sur le signe de celui-ci. Si tu lavais fait, tu aurais vu que tu ne peux obtenir une solution correcte que sur chacun des intervalles donnés.
Mais l'équation elle -même est bien définie pour x=0 et x=4. Donc il s'agit de voir si certaines de tes solutions sur chaque intervalle, veulent bien se recoller en 0 et/ou en 4.

[Majaspique]

Bonjour

D'abord, tu as divisé par x(x-4) sans te demander si c'est nul, puis tu as pris la racine de x(x-4) sans te poser de question sur le signe de celui-ci. Si tu lavais fait, tu aurais vu que tu ne peux obtenir une solution correcte que sur chacun des intervalles donnés.
Mais l'équation elle -même est bien définie pour x=0 et x=4. Donc il s'agit de voir si certaines de tes solutions sur chaque intervalle, veulent bien se recoller en 0 et/ou en 4.

D'accord, voilà alors ce que j'ai :
1) a) On pose , et

On écrit (H) sous forme normalisée sur UU:
(H)

On résout (H) sur :
Comme x<0 alors x<4 d'où x-4<0 et donc x(x-4) > 0
Donc une primitive de sur est c'est-à-dire :

Donc

On résout (H) sur :
Comme 0<x<4 alors x-4<0 et donc x(x-4) < 0
J'obtiens un problème sur cet intervalle ducoup

On résout (H) sur :
Comme x>0 alors x>4 d'où x-4>0 et donc x(x-4) > 0
Donc une primitive de sur est c'est-à-dire :

Donc

Merci pour la réponse rapide.

[Sa Majesté]

Déjà il y a un problème de signe : il faut trouver une primitive de
Ça ne change rien au problème évidemment.

On résout (H) sur :
Comme 0<x<4 alors x-4<0 et donc x(x-4) < 0
J'obtiens un problème sur cet intervalle ducoup

Peux-tu me donner une primitive de la fonction f(x) = 1/x sur R*- ?

[Majaspique]

Déjà il y a un problème de signe : il faut trouver une primitive de
Ça ne change rien au problème évidemment.

On résout (H) sur :
Comme 0<x<4 alors x-4<0 et donc x(x-4) < 0
J'obtiens un problème sur cet intervalle ducoup

Peux-tu me donner une primitive de la fonction f(x) = 1/x sur R*- ?

Oui pardon j'obtiens des
Une primitive de 1/x est ln|x|, je vais donc essayer ça

[Sa Majesté]

Oui ça va beaucoup mieux avec la valeur absolue

[Majaspique]

Oui ça va beaucoup mieux avec la valeur absolue

On résout (H) sur :
Comme 0<x<4 alors x-4<0 et donc x(x-4) < 0
Donc une primitive de sur est c'est-à-dire :

Donc
Mais ducoup je vais devoir bosser avec une valeur absolue ?

[Sa Majesté]

Mais ducoup je vais devoir bosser avec une valeur absolue ?

C'est toujours mieux que de bosser avec un collègue chiant
Ou sinon tu mets -x(x-4).

[Majaspique]

Je ne sais pas si c'est juste pour la 1) b) :
vérifie, en remplaçant x par 0 puis x par 4 dans (H), et
Donc définie par :
si x = 0 ou x = 4
si x inclus dans (k=1,2 ou 3)

Recollement :
J'obtiens pour le taux d'accroissement en 0- :
Ducoup n'est pas recollable en 0 ce qui n'est pas cohérent avec l'énoncé

[Sa Majesté]

Avant de parler de taux d'accroissement, il faut parler de continuité.
Il faudrait trouver une valeur de lambda sur chacun des intervalles 1, 2 et 3 (c'est-à-dire lambda1, lambda2 et lambda3) de façon à pouvoir trouver une solution de (H) par prolongement par continuité.

Je ne vois pas d'autre solution que lambda1 = lambda2 = lambda3 = 0, mais peut-être que ça dépasse mes compétences ...