Equation différentielle...

[gk27]

En fait j'ai un problème dont le but est de résoudre l'équation différentielle


Dans un premier temps je devais mettre l'équation sous la forme canonique
ce que j'ai réussi.

Maintenant je dois montrer qu'il existe une unique solution maximale qui vérifie
et avec quatres réels.
Mais je ne vois pas comment montrer l'existence d'une telle solution.
Si quelqu'un pouvait m'aider...

[mathelot]

bjr,
Il suffit de montrer que les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschtiz sont vérifiées,ie, que le système mis sous la forme , F est localement lipschitzienne de la variable (t,y).
Si est , ça devrait être ok.

[gk27]

Merci, je vais essayer ça tout de suite

[gk27]

D'après mon cours, j'ai que si g est une fonction ce classe sur un ouvert alors elle est localement lipschitzienne sur .
Ici, sous sa forme canonique mon équation devient



Cette fonction étant clairement sur , peut-on dire qu'elle est lipschitzienne sur , donc que d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz il existe une solution qui vérifie les conditions initiales énoncées plus haut.

Cependant, un théorème du cours me dis que pour avoir solution maximale, il faut une fonction uniformément lipschitzienne. En ai-je besoin ici?

[mathelot]

Cependant, un théorème du cours me dis que pour avoir solution maximale, il faut une fonction uniformément lipschitzienne. En ai-je besoin ici?

Il suffit.


Une condition de suffisance est que F(t,y) soit localement lipschitzienne
ie, que pour tout point(t_0,y_0), il existe un voisinage du point U, dans le Banach, et une constante M telle

implique

Si F est de classe C1, la condition est automatiquement vérifié dans un Banach localement compact comme , la différentielle
(continue) y est localement bornée et thm de l'inégalité des accroissements finis,une majoration s'intègre.

[gk27]

Merci beaucoup, voilà qui m'éclaire un peu^^