Equation différentielle d'ordre 4

[Ncdk]

Bonjour,

Je dois donner l'ensemble des solutions de l'équation suivante :


Mon début de réponse :

J'ai commencé par transformer cette équation d'ordre 4 en une équation d'ordre 1 du style : X'=AX

Avec

et

J'ai calculé le polynôme caractéristique de A qui sous forme factorisé donne :



Donc A est trigonalisable dans , mais je me souviens absolument plus comment on trigonalise de manière simple et rapide

[Kolis]

Bonjour !
Passer en vectoriel est une possibilité mais tu devrais connaître ceci :
Tu as une équation linéaire "sans second membre".
L'équation caractéristique est de racines (ordre 2).
Une base de solutions de l'équation est donc formée des fonctions :
.

[Ben314]

L'équation caractéristique est de racines ...

Bizarement, j'ai un tout petit peu des doutes concernant le fait que 1-2+2-1+1 soit nul....

[Kolis]

En fait j'ai travaillé sur une recopie de sa matrice et il semble qu'il ait oublié -2x' dans son énoncé.
Maintenant, si c'est l'équation qui est correcte, nous sommes deux à avoir une équation fausse...

Donc j'ai utilisé l'équation caractéristique (cela me semble plus raisonnable : racines faciles à trouver, mélange - disons pédagogique- de racines simple et double). Son équation initiale poserait des problèmes sérieux de résolution d'équation de degré 4.

[Ncdk]

Bonsoir,

En effet j'avais oublié un petit 2.

J'ai essayé d'avancer, de me renseigner aussi sur comment trigonaliser rapidement ce genre de matrice.
Pour commencer j'avais une question, au vu de mon polynôme caractéristique, est-ce que je peux dire directement que dans ma forme triangulaire, les coefficients "au-dessus" de i et -i seront tous nul ? C'est toujours vrai ? Par exemple on a un polynôme caractéristique complètement aléatoire pour une matrice 3x3 :
alors directement dans la forme triangulaire, les coefficients au-dessus de sont que des 0 ? Si c'est toujours vrai, c'est quoi la raison en fait ?

[Kolis]

Bonjour !
Si tu trigonalises dans les complexes, puisque sont des valeurs propres distinctes tu obtiens des blocs trigonaux de la forme


Les sous espaces caractéristiques associés aux valeurs propres simples (ici ) sont en fait des espaces propres, donc des droites vectorielles.
Pour les valeurs propres multiples d'ordre , le sous espace caractéristique est de de dimension ET il est stable d'où une matrice trigonale (un bloc en fait) à lignes où la diagonale est la valeur propre répétée fois.

Mais si l'espace propre est lui-même de dimension par choix d'une base de l'espace propre complété par vecteurs tu auras colonnes où il n'y aura que le coefficient diagonal.

Dans l'illustration précédente j'ai supposé que le troisième vecteur est vecteur propre associé à 1 et que l'espace propre associé à 1 n'est pas de dimension 2 (forcément de dimension 1 !) sinon la matrice serait diagonalisable.