équation de degré 3

[samirou]

Bonjours, pouvez vous m'aider à simplifier a et b:
ÉNONCÉ
Simplifier l’écriture du réel a=;)(20+14;)2) +;)(20-14;)2); b=;)(5;)2 + 7) - ;)(5;)2 -7)
Indication: utiliser une équation de degré 3 satisfaite par a et cherchez ses racines.

[Manny06]

Bonjours, pouvez vous m'aider à simplifier a et b:
ÉNONCÉ
Simplifier l’écriture du réel a=;)(20+14;)2) +;)(20-14;)2); b=;)(5;)2 + 7) - (5;)2 -7)
Indication: utiliser une équation de degré 3 satisfaite par a et cherchez ses racines.

pour le 1)
personnellement j'ai cherché 20+14V2 sous la forme (x+yV2 )³avec x et y entiers
ce qui donne x(x²+6y²)=20 et y(2x²+3y²)=14
par essais on trouve x=2 y=1.....

[Doraki]

Dans ces cas-là, les machins dont tu prends la racine cubique sont secrètement des cubes dans Z[sqrt(2)].
Donc on calcule des petits cubes comme (1+sqrt(2))^3 ou bien (2+sqrt(2))^3. Et oh, quelle surprise !

Parceque bon qui a envie de calculer le cube de cette horreur pour trouver son polynôme annulateur hein ? pour ensuite deviner des racines ? c'est tout aussi facile de deviner les racines cubiques.

[Black Jack]

J'en fait un.

a = (20+14V2)^(1/3) + (20-14V2)^(1/3)

a = B + C

a³ = B³ + 3B²C + 3BC² + C³

Avec B = (20+14V2)^(1/3) et C = (20-14V2)^(1/3)

B³ = 20+14V2
C³ = 20-14V2

B²C = ((20+14V2)²)^(1/3) . (20-14V2)^(1/3)
B²C = (792 + 560V2)^(1/3) . (20-14V2)^(1/3)
B²C = [(792 + 560V2).(20-14V2)]^(1/3)
B²C = (160 + 112V2)^(1/3)
B²C = 2.(20 + 14V2)^(1/3)

BC² = ((20-14V2)²)^(1/3) . (20+14V2)^(1/3)
BC² = (792-560V2)^(1/3) . (20+14V2)^(1/3)
BC² = [(792 - 560V2).(20+14V2)]^(1/3)
BC² = [160-112V2]^(1/3)
BC² = 2.(20 - 14V2)^(1/3)

a³ = 20+14V2 + 20-14V2 + 6.(20 + 14V2)^(1/3) + 6.(20 - 14V2)^(1/3)
a³ = 40 + 6.[(20 + 14V2)^(1/3) + (20 - 14V2)^(1/3)]
a³ = 40 + 6a

a³ - 6a - 40 = 0
a³ - 4a² + 4a² - 16a + 10a - 40 = 0
a²(a-4) + 4a(a-4) + 10(a-4) = 0
(a-4)(a²+4a+10) = 0
Dont la seule solution réelle est a = 4

---> a = (20+14V2)^(1/3) + (20-14V2)^(1/3) se simplifie en a = 4
*****
:zen:

[samirou]

Je vois que (2+;)2)^3=20+14;)2 et (2-;)2)^3=20-14;)2 mais comment former l'équation de degré 3

[Black Jack]

Je vois que (2+;)2)^3=20+14;)2 et (2-;)2)^3=20-14;)2 mais comment former l'équation de degré 3

Je l'ai fait dans ma réponse, on arrive à : a³ - 6a - 40 = 0

:zen:

[samirou]

Merci beaucoup j'ai compris parfaitement ta démarche