Equation dans C

par **mehdi-128** » 10 Juin 2007, 11:10

Bonjour ,je dois résoudre dans C l'équation suivante: tan(z)=z ,z n'étant pas réel........
J'ai commencé par noter :z=x+iy

tan(z)=z <=> [tan(x)+tan(iy)]/[1-tan(x)*tan(iy)] =x+iy

Ensuite je vois pas trop.....merci....

par **emdro** » 10 Juin 2007, 11:48

Bonjour

tan(iy)=i th(y) non?
Tu peux essayer d'écrire un système de 2 équations à 2 inconnues réelles.

C'est une idée, je ne sais pas si elle aboutit.

par **mehdi-128** » 10 Juin 2007, 12:02

tan(iy)=i th(y)

Comment démontrer ce résultat ??

par **emdro** » 10 Juin 2007, 12:05

Je ne crois pas car le i dans tan (iy) est au dénominateur ET il y a un moins.
or-1/i=i. C'est ce que j'ai fait en tout cas.

par **mehdi-128** » 10 Juin 2007, 12:06

Et comment fais tu pour démontrer tan(iy)=ith(y)?

par **emdro** » 10 Juin 2007, 12:11

J'écris que
tan (iy)=sin(iy)/cos(iy)

et j'utilise les formules d'Euler:
cosY=[e^(iY)+e^(-iY)]/2
sinY=[e^(iY)-e^(-iY)]/(2i)

par **mehdi-128** » 10 Juin 2007, 12:12

Ah ok merci,en fait dans la formule du sinus j'avais oublié le i au dénominateur.

tan(z)=z <=> [tan(x)+ith(y)]/[1-itan(x)th(y)]=x+iy

d'ou: {tan(x)-x=ytan(x)th(y)
{ y-th(y)=xtan(x)th(y)

Ensuite,je vois pas trop quoi faire....

par **emdro** » 10 Juin 2007, 12:18

Ca m'a l'air bon. Il reste à résoudre tout cela...

par **kazeriahm** » 10 Juin 2007, 12:19

seulement z n'est pas nécessairement imaginaire pur ?!

par **mehdi-128** » 10 Juin 2007, 12:21

Deja on peut distinguer le cas x=0, y=th(y)=0 d'ou y=0.(a exclure car si y est nul z est un réel,or on veut résoudre l'équation dans C)....

par **emdro** » 10 Juin 2007, 12:29

Ce n'était pas le pire...

C'est vraiment chaud!

par **mehdi-128** » 10 Juin 2007, 12:31

Ouai exact ,le système est bien costaud!!

par **emdro** » 10 Juin 2007, 12:43

C'est peut-être le signal qu'on a emprunté une voie sans issue!
Il ne faut jamais hésiter à revenir sur ses pas...

par **mehdi-128** » 10 Juin 2007, 12:46

Ouai peut etre, en attendant j'aurai bien aimé au moins simplifier ce système.....
J'arrive a:
x=tan(x)[1-yth(y)]
y=th(y)[1+xtan(x)]
Impossible à résoudre ce système!!

par **emdro** » 10 Juin 2007, 13:04

j'avais une autre idée :--: Cela ne marche pas mais tu peux peut-être adapter:

Si tu écris tan(z) sous forme algébrique tu vas avoir
tan(x+iy)=[(1-th²y)tanx+i(1+tan²x)thy]/(1+tan²xth²y)

J'ai un peu l'idée que cette équation n'a pas de solutions donc je cherche des contradictions. Par exemple:
(1+tan²x)thy/(1+tan²xth²y) peut il être égal à y?

Tu sais que thy est entre -1 et 1
Du coup, (1+tan²xth²y)<(1+tan²x)

et (1+tan²x)/(1+tan²xth²y)>1

Si y>0, thy>0, du coup (1+tan²x)thy/(1+tan²xth²y)>thy
cela donne y>thy :mur: Et c'est vrai ... Mince alors!

par **mehdi-128** » 10 Juin 2007, 13:10

Ah dommage ,bien essayé.....

par **quinto** » 10 Juin 2007, 13:31

Je ne pense pas que ce soit trivial, compte tenu du fait que l'on ne peut déjà pas expliciter les solutions réelles.

par **emdro** » 10 Juin 2007, 13:36

quinto,

J'ai l'intuition que toutes les solutions sont réelles justement; peut-être peut on prouver qu'il n'y en a pas d'autre.

par **emdro** » 10 Juin 2007, 14:50

emdro a écrit:Si tu écris tan(z) sous forme algébrique tu vas avoir
tan(x+iy)=[(1-th²y)tanx+i(1+tan²x)thy]/(1+tan²xth²y)

Ca y est !!!!

On repart de là:
(1-th²y)tanx/(1+tan²xth²y)=x
(1+tan²x)thy/(1+tan²xth²y)=y

Du coup (1-th²y)tanx /x =(1+tan²x)thy/y
et en séparant les deux variables:
y(1-th²y)/thy=x(1+tan²x)/tanx

Mais tu sais que sin(2x)=2tanx/(1+tan²x) et sh(2y)=2thy/(1-th²y)

Donc on tombe sur 2y/sh(2y)=2x/sin(2x)

Ce qui est impossible car |2y/sh(2y)|1

NB J'ai mis des x, y, sinx, shy sans scrupule au dénominateur car tu l'as dit: si x=0 alors y=0 et on avait convenu qu'on résolvait l'équation sur C\R

OUF!!

par **mehdi-128** » 10 Juin 2007, 16:27

Equation dans C

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Hurrah!!!!!!!!!!!!!!!!!

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