Equation dans Z
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Sara1999
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par Sara1999 » 12 Nov 2024, 12:33
Bonjour,
Il s’agit de prouver que l’équation: 7(x^2+y^2+z^2)(x^5+y^5+z^5)=10(x^7+y^7+z^7) , lorsque x, y et z sont des entiers relatifs tels que x+y+z≠0 n’a pas de solution.
J’ai prouvé cela si x+y+z n’est pas divisible par 7, mais je n’arrive pas à le faire dans le cas où il l’est.
Pouvez-vous m’aider? Merci.
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ComeDuRondeau
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par ComeDuRondeau » 12 Nov 2024, 22:09
Bonsoir,
Tu peux montrer que
est divisible par
pour
dans ton exercice (pense à utiliser le petit théorème de Fermat ou le morphisme de Frobenius si tu l'as vu).
Tu devrais pouvoir conclure ensuite avec un argument de descente à l'infini !
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Sara1999
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par Sara1999 » 12 Nov 2024, 22:42
Bonsoir,
Pour la divisibilité par 5, j’ai trouvé que x+y+z ou x^2+y^2+z^2 est divisible par 5, comment pourrai-je éliminer le second cas?
Et comment je pourrais terminer par la méthode de descente infinie, ce n’est pas encore clair pour moi. Merci .
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ComeDuRondeau
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par ComeDuRondeau » 13 Nov 2024, 01:32
Pardon, je n'avais pas fait attention au fait que
a des solutions non triviales modulo
Tous les triplets de la forme
sont des solutions modulo
.
J'ai parlé trop vite aussi pour la descente à l'infini désolé !
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Sara1999
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par Sara1999 » 13 Nov 2024, 09:50
Pas de mal . Merci du temps que vous consacrez pour m’aider.
J’ai pensé à trouver une solution plus petite en divisant par le pgcd(x,y,z) mais le problème ici est celui des signes, car x, y et z ne sont pas forcément tous positifs ou tous négatifs.
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ComeDuRondeau
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par ComeDuRondeau » 13 Nov 2024, 14:22
Une façon de prouver qu'il n'existe pas de solution serait en effet de supposer que
quitte à diviser par le
l'équation si ce n'est pas le cas puis de prouver qu'ils ont tous un diviseur commun non trivial (ce qui serait absurde). Le mieux que j'arrive à faire c'est de montrer qu'il y a forcément une des variables divisible par
et les deux autres sont premières avec
Quel est le cadre de cet exercice ? C'est un exercice de TD ?
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Sara1999
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par Sara1999 » 13 Nov 2024, 14:58
J’ai effectivement ramené le problème au cas où pgcd(x,y,z)=1 et j’ai aussi montré que s’il y a une solution alors x+y+z est divisible par 7 grâce à Fermat. Mais la contradiction ne se montre pas .
J’ai aussi montré que (xy)^2+(yz)^2+(zx)^2 est divisible par 3 mais ça n’avance toujours pas.
L’exercice m’a été proposé par un ami étudiant .
Merci.
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Sara1999
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par Sara1999 » 13 Nov 2024, 20:34
Pardon j’ai commis une erreur concernant (xy)^2+(yz)^2+(zx)^2, on ne peut rien dire.
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Sara1999
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par Sara1999 » 14 Nov 2024, 00:05
Bonsoir,
S’il vous plait, si vous êtes arrivés à montrer que l’une des variables est forcément divisible par 10, et les deux autres non, cela ne montre pas par hasard, vu le fait que les 3 variables jouent un rôle symétrique, qu’elles vont être toutes les trois divisibles par 10 et avoir par là une contradiction.
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ComeDuRondeau
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par ComeDuRondeau » 14 Nov 2024, 12:04
Sara1999 a écrit:Bonsoir,
S’il vous plait, si vous êtes arrivés à montrer que l’une des variables est forcément divisible par 10, et les deux autres non, cela ne montre pas par hasard, vu le fait que les 3 variables jouent un rôle symétrique, qu’elles vont être toutes les trois divisibles par 10 et avoir par là une contradiction.
Malheureusement non, ça ne montre rien. On pourrait très bien avoir
solution par exemple et la symétrie du problème se manifeste alors par le fait que
et les autres permutations des coordonnées sont aussi solutions.
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Sara1999
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par Sara1999 » 14 Nov 2024, 12:21
Oui, vous avez parfaitement raison .
Cet exercice m’intrigue vraiment !
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Ben314
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par Ben314 » 15 Nov 2024, 19:09
Salut,
Si on pose
, via les identités de Newton, l'équation s'écrit
ce qui permet de simplifier par
supposé non nul.
Ensuite, on peut éventuellement regarder ce que ça donne en terme d'équation (du second degré) en
ou en
. . .
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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Sara1999
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par Sara1999 » 15 Nov 2024, 21:32
J’ai calculé deux discriminants, mais je ne vois pas encore la contradiction, car il y a des solutions réelles lorsque x+y+z≠0 . Comment donc utiliser le fait qu’on a des entiers relatifs . Pouvez-vous me guider un peu plus, je vous en remercie.
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Sara1999
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par Sara1999 » 16 Nov 2024, 08:50
S’il vous plait est ce qu’il n’y a aucune erreur dans la formule que vous avez trouvée ?
Merci.
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Sara1999
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par Sara1999 » 16 Nov 2024, 18:10
Prière de me dire ce qu’il faut que je corrige dans mon raisonnement. Merci .
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Sara1999
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par Sara1999 » 17 Nov 2024, 23:55
J’ai trouvé la même équation mais avec :
35s^3t +35 s^2t^2 où s=x+y+z et t=xy+yz+zx
J’ai calculé le discriminant pour l’équation du second degré en xyz qui est égal à :
s^2(385s^4-1470s^2t+1225t^2)
=35s^2(11s^4-42s^2t+35t^2)
Ce discriminant doit être un carré parfait, mais comment montrer que c’est impossible.
Merci.
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par Sara1999 » 18 Nov 2024, 11:39
Bonjour,
Numériquement, je trouve que l’équation
11s^2-42s^2t+35t^2=35 u^2 a toujours une solution telle que s=0 , ce qui donne la contradiction mais je n’arrive pas à le démontrer.
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catamat
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par catamat » 20 Nov 2024, 13:39
Bonjour
Vous souhaitez que 11s^4-42s^2t+35t^2 s'écrive 35(...)²
C'est un trinôme en t ,
35t²+bt+c avec b=-42s² et c=11s^4
Il s'écrira sous la forme voulue si et seulement si son discriminant est nul
Son delta vaut: 1764s^4-1540s^4 ou 224s^4
Il est nul si et seulement si s est nul ce qui est exclu...
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Sara1999
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par Sara1999 » 20 Nov 2024, 19:57
Il y a un pb ici :
(7,42,7) vérifie cette équation !
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Sara1999
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par Sara1999 » 20 Nov 2024, 20:07
Je crois qu’il faut abandonner le raisonnement avec le discriminant , et 35 n’est pas un carré dans Z .
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