Equation dans C

[aviateur]

Bonjour
Je considère l'équation (E) suivante : (inconnue dans ):



désignera par la suite une solution quelconque de l'équation (E)

1. Montrer que les solutions de cette équations sont dans une bande


Je n'arrive pas à mettre d'accolades)

2. Déterminer le comportement asymptotique des solutions de cette équation
qui tendent vers l'infini.

3. Plus difficile: R>0 étant donné, déterminer en fonction de R ( pour R assez grand) le nombre de solutions de l'équation qui vérifient

[Lostounet]

Salut,

Juste en vrac avant de dormir ce genre d'équations me rappelle le théorème de Rouché qui permet de compter les zéros des fonctions holomorphes (mais ici il y a des contraintes)... Je regarderai à mon retour si je pourrais.

[aviateur]

Bonjour @Lostounet
Attention ce n'est qu'un amusement, je sais le faire. (J'ai dû me tromper je voulais le mettre dans la rubrique défis et énigmes)
Disons qu'effectivement c'est avec le th de Rouché.
Le 2) c'est un peu plus que cela.
Le 3) je pense qu'on peut le faire avec Rouché mais là je n'ai pas la solution avec Rouché. En fait j'ai la solution par un moyen complètement détourné.

[Lostounet]

Petit up, car c'est pas mal comme exo.

Pour la question 2 j'ai pas trop compris: on doit montrer comment sont réparties les solutions quand, au sein de la bande a<= Re(z)<= b, |z| grandit ? ie c'est Im(z) qui doit grandir en fin de compte pour que |z| puisse tendre vers l'infini. C'est bien cela?

Je vais essayer le 1) pour voir, merci de me dire s'il y a des passages douteux:

Appliquons le théorème de Rouché, en posant f et g comme suit:
f(z) = tanh(z) + z + 2
g(z) = z

|f - g| = |tanh(z) + 2| <= |tang(z)| + 2
Considérons z = x + iy et a <= x <= b

En me fiant à mon brouillon, sauf erreur de majoration:

|f - g| <= |tanh(z)| + 2 <= |tanh(x)| + 2 <= 3
Au vu de cela, faudra-t-il que j'impose a et b ? Désolé j'ai pas trop l'habitude.

La bande (-3 ; 3) convient-elle? Ou c'est mieux si je prends (-4 , 4)? (Le bord admet bien un paramétrage de classe C^1). Je crois qu'il faut que l'inégalité soit stricte, donc je pencherais pour la 2e.

[aviateur]

Non Lostounet, tu ne peux pas dire
je nevois pas pourquoi on aurait cela (exemple z=1+i ça ne marche pas.
Ensuite on ne demande pas les valeurs exacte de et mais simplement leur existence.
Je ne crois pas qu'il soit facile et possible de trouver

Pour avancer vers la solution, il faut dès le départ savoir que les solutions de l'équation sont des points isolées car f(z) est une fonction entière (résultat assez connu et important)

Ensuite on procède par étapes.
1. Je pense que pour montrer l'existence de il faut raisonner par l'absurde.
Soit une suite de solution de l'équation f(z)=0 tel que tend vers et obtenir une contradiction.
Idem pour \beta.

2. Partie 2. Comme tu l'a dit commencer par Rouché.
D'après la partie 1. si il y a une infinité de solution les solutions ne peuvent former un ensemble borné.
Donc on va chercher les solutions |z| telles |z| tend vers l'infini plus précisément |Im(z)| tend vers l'infini.
On peut se limiter à |Im(z)| qui tend vers +\infty (en effet si z est solution , conjugué de z aussi).
Comme indication pour appliquer Rouché c'est que l'on utilise souvent une fonction f_0 "proche" de
f quand z est grand. Il ne faut pas la chercher au hazard. Par exemple f_0(z)=z ce n'est pas cela.

Je te laisse chercher f_0 en se disant quand Im(z) est grand quel est le terme dominant.

[Lostounet]

Salut merci Aviateur pour la correction.

Effectivement je me suis trompé dans la majoration comme prévu (et un peu sur le principe de Rouché vu qu'il faut que la fonction soit proche de f et que z ne marche pas).
Je vais regarder ce qui se passe asymptotiquement.

[aviateur]

Rebonjour
Si on admet la première la première question on a z=x+iy avec x qui reste borné et y qui tend vers
Alors on doit voir que sinh(z) et cosh(z) sont borné et donc malgré tout tu as raison quelque part z est grand
mais cosh(z) peut être petit et donc th(z) grand.
C'est à dire qu'il faut réécrire l'équation en multipliant le tout par cosh(z) et l'équation devient

g(z)=0 avec g(z)= (z+2) cosh(z)+sinh(z) et je prendrai bien g0(z)=(z+2) cosh(z) pour qui on sait trouver
les solutions.

[Lostounet]

Je ne crois pas qu'il soit facile et possible de trouver

Salut Aviateur,

Cette affirmation m'interpelle un peu. J'ai jamais résolu d'équations dans C numériquement par exemple.

On ne peut pas approximer alpha ou l'expliciter est trop difficile?

[aviateur]

Bonjour, Le but de l'exercice est le comportement asymptotique des racines de l'équation. Si z est une solution quelconque, on cherche le comportement de z quand |z| tend vers l'infini.
Or ici, pour la question 2, c'est important de savoir que z reste dans une bande

Connaître et n'est pas indispensable. Seule leur existence est nécessaire

[Lostounet]

Bonjour, Le but de l'exercice est le comportement asymptotique des racines de l'équation. Si z est une solution quelconque, on cherche le comportement de z quand |z| tend vers l'infini.
Or ici, pour la question 2, c'est important de savoir que z reste dans une bande

Connaître et n'est pas indispensable. Seule leur existence est nécessaire

Oui on est bien d'accord là-dessus. C'est juste une question que je me suis posée en cherchant...