Equation dans IN

[anthony_unac]

Bonjour,

Existe t il des techniques pour résoudre ce type d'équation dans IN :

avec premier et entier naturel

Je reste assez désemparé face à ce type d'équation (pourtant si simple à écrire) !?
Comme me le faisait remarqué un intervenant du forum il existe au moins une solution {p=17;n=4} mais pour résoudre l'intégralité de la chose, c'est une autre paire de manche

Cordialement
Anthony

[anthony_unac]

Après recherche, il semblerait que cette équation est loin d'être évidente puisque c'est précisément le quatrième problème de Landau :

Les quatre problèmes de Landau :
conjecture de Goldbach : tout nombre pair strictement supérieur à 2 peut s'écrire comme somme de deux nombres premiers ;
conjecture des nombres premiers jumeaux : il existe une infinité de jumeaux premiers ;
conjecture de Legendre : il existe toujours au moins un nombre premier entre n2 et (n + 1)2 ; cette conjecture est liée à l'hypothèse de Riemann et, comme cette dernière, reste non démontrée à ce jour ;
existence d'une infinité de nombres premiers de la forme n^2 + 1.

Si vous avez toutefois des astuces pour extraire certaines solutions particulières, je suis toujours preneur

[zygomatique]

salut

mis à part des procédés de descente pour (on peut) trouver des conditions nécessaires et /ou suffisante ...

tout nombre premier s'écrit p = 4k +- 1 ou aussi p = 6k +-1

hormis p = 2 qui conduit à la solution n = 1 p est impair donc p - 1 est pair il donc aussi être multiple de 4 donc p = 4k + 1 est nécessaire ....

essayer de voir ce qui se passe ensuite avec l'écriture p = 6q +-1 sachant que p = 4k + 1

quant à ta remarque : il existe au moins une solution {p=17;n=4} alors plus simplement :

p = 2 => n = 1
p = 5 => n = 2

....

[Robot]

Les premiers de la forme n^2+1 inférieurs à un million :
2,
5,
17,
37,
101,
197,
257,
401,
577,
677,
1297,
1601,
2917,
3137,
4357,
5477,
7057,
8101,
8837,
12101,
13457,
14401,
15377,
15877,
16901,
17957,
21317,
22501,
24337,
25601,
28901,
30977,
32401,
33857,
41617,
42437,
44101,
50177,
52901,
55697,
57601,
62501,
65537,
67601,
69697,
72901,
78401,
80657,
90001,
93637,
98597,
106277,
115601,
122501,
147457,
148997,
156817,
160001,
164837,
176401,
184901,
190097,
193601,
197137,
215297,
217157,
220901,
224677,
240101,
246017,
287297,
295937,
309137,
324901,
331777,
341057,
352837,
401957,
404497,
414737,
417317,
427717,
454277,
462401,
470597,
476101,
484417,
490001,
495617,
509797,
512657,
547601,
562501,
577601,
583697,
608401,
614657,
665857,
682277,
739601,
746497,
792101,
820837,
828101,
846401,
864901,
876097,
894917,
902501,
921601,
933157,
972197

[nodgim]

2 questions pour aiguiser ta curiosité:

-Soit un nombre premier p qui divise n²+1, combien y a t'il de n modulo p dans ce cas ?

-Fort de ta connaissance avec la réponse à la 1ère question, tu appliques la méthode de crible d'Eratosthène à la liste des n²+1. Quand tu tombes sur un nombre qui n'a pas été raturé, est il obligatoirement premier ?

Bon amusement

[Robot]

-Soit un nombre premier p qui divise n²+1, combien y a t'il de n modulo p dans ce cas ?

Le sens de cette question n'est pas très clair. Est-ce que la question veut dire :
"On suppose que est un carré modulo le nombre premier . Combien y a-t-il d'éléments de dont le carré est ?"

Le sens de la deuxième question ne me semble pas très clair non plus. Merci de préciser.

[anthony_unac]

Merci pour l'ensemble de vos réponses, un grand merci pour tous ces nombres Robot qui ont du te demander un peu de travail

[zygomatique]

avec Xcas ou un logiciel équivalent qui "possède la liste" des nombres premiers un programme de 4-5 lignes avec un test donne la réponse en quelques secondes ....

[Robot]

En deux secondes, avec Sage, j'obtiens la liste des 54110 premiers de la forme inférieurs à .
Les dix derniers sont
999568046657,
999620036101,
999628034597,
999672026897,
999732017957,
999848005777,
999868004357,
999892002917,
999900002501,
999920001601

[Ben314]

Et si tu est aussi feignant que moi, tu va sur l'OEIS, tu tape les 5 premiers que tu as calculé et ça te complète la liste (et te donne son "petit nom") : https://oeis.org/A002496

[nodgim]

@Robot: je pose la question autrement, bien que le lien semble éloigné: prouver que seuls les nombres premiers > 2 de la forme 4k+1 divisent n²+1.

[Robot]

Ta question, formulée correctement, serait : "soit un nombre premier ; s'il existe un entier tel que divise , alors est divisible par " ?

[nodgim]

C'est une bonne reformulation.

[Robot]

La considération du groupe multiplicatif de donne immédiatement la réponse. Mais ce n'est peut-être pas ce genre d'argument que tu attends.

[nodgim]

Pas vraiment, mais je me doutais bien que c'est celui là qui allait sortir...

[zygomatique]

de toute façon p > 2 s'écrit où les p_i sont des nombres premiers et n et les k_i sont des entiers ....

mais bon ça fait pas avancer le schmilblick ...