Ensembles dénombrables

[minidiane]

Bonjour j'ai besoin d'aide pour deux exercices les voici:

1)Soient X et Y deux ensemble tels que X inclu Y. Montrer que si Y est au plus dénombrable alors X aussi et que si X n'est pas au plus dénombrable alors Y non plus.
2) Montrer que un ensemble X est au plus dénombrable si et seulement si il est en bijection avec une partie de X, si et seulement si il existe une injection de X dans N.

Voilà j'ai besoin d'aide je n'y arrive pas du tout

[bruce.ml]

Salut,

quelle est ta définition d'un ensemble dénombrable s'il te plait ? pour moi c'est un ensemble qui est en bijection avec une partie de N ...

[aviateurpilot]

je ne sais pas ce que tu veux dire pas (au plus denombrable) mais je vais supposer que A est au plus denombrable si et seulement si A fini ou bien A denombrable

1)
si fini alors est fini
si est denombrable alors bijective.
soit tel que
on a bien bijective.
si est fini alors est au plus denombrable
si est infini on a est infini.
on peux dans ecrire tel que croissante.
dans ce cas l'application tel que est bijecive, d'ou est denombrable

on a donc montrer que (Y au plus denombrable) => (X au plus denombrable)
c'est equivalent à (X n'est pas au plus denombrable) => (Y n'est pas au plus denombrable)

2) là je vais exclure le cas ou est fini,jusqu'a ce que tu me dit c'est koi (au plus denombrable)
l'equivalence (un ensemble X est au plus dénombrable si et seulement si il est en bijection avec une partie de X) est faux car tt les ensembe sont en bijection avec eux meme (car X est une partie de X) mais pas forcement au plus denombrable. sauf si tu veux dire (un ensemble X est au plus dénombrable si et seulement si il est en bijection avec une partie stricetement inclu dans X)
je vais laisser ce cas, car il faut bien definir les notion dans cet exo avant de le posté.(je suis encor au debut de mathspé et je ne connais pas bcp de choses)

mtn je vai traite cette equivalance (X denombrable si et seuelement si il existe une injection de X dans N)
en effet le le sens directe est evident
pour le sens contraire. supposons que une injection
alors tel que est une bijection et on continu notre raisonnement comme ce qui j'ai fait dans la 1er demonstration.

[minidiane]

Pour moi un ensemble est au plus dénombrable s'il est fini ou en bijection avec N c'est pour ça que je ne comprend pas très bien la deuxième démonstration à faire
En tout cas merci aviateurpilot de m'aider encore une fois t'es super ^^

[SimonB]

2) Montrer que un ensemble X est au plus dénombrable [...] si et seulement si il existe une injection de X dans N.

Effectivement il doit y avoir une faute dans ton premier énoncé.
Pour cela, c'est évident si l'ensemble est dénombrable (tu prends une bijection et c'est dénombrable), s'il est fini de cardinal p tu ordonnes tes éléments (de manière arbitraire) avec les deux à deux distincts, et tu poses l'injection qui à un élément associe son rang dans l'ensemble. Il est clair que c'est une injection.

[minidiane]

oui il y a bien une faute je viens de m'en appercevoir c'est
2) Montrer que un ensemble X est au plus dénombrable si et seulement si il est en bijection avec une partie de N, si et seulement si il existe une injection de X dans N.

[SimonB]

oui il y a bien une faute je viens de m'en appercevoir c'est
2) Montrer que un ensemble X est au plus dénombrable si et seulement si il est en bijection avec une partie de N

Dans ce cas-là c'est plus simple : s'il est dénombrable il est en bijection avec , sinon il est en bijection avec

[aviateurpilot]

2) Montrer que un ensemble X est en bijection avec une partie de N si et seulement si il existe une injection de X dans N.

=>) supposons que pour : est une bijection.
donc l'application tel que est bien une injection de X dans N.

<=) supposons que est une injection.
donc l'application tel que est bien une bijection de X dans h(N) qui est une partie de .

[minidiane]

Merci à vous deux je pense avoir compris