Ensembles dénombrables

[Joker62]

En fait, construire une bijection d'un ensemble E vers N ça veut dire qu'à chaque élément de E on peut associer un et un seul entier naturel, et qu'à tout entier naturel, on peut associer un et un seul élément de E.

Donc en gros, ça revient à compter les éléments de E.
Et tu remarques que compter et dénombrer c'est fort semblable

[juve1897]

En fait, construire une bijection d'un ensemble E vers N ça veut dire qu'à chaque élément de E on peut associer un et un seul entier naturel, et qu'à tout entier naturel, on peut associer un et un seul élément de E.

Donc en gros, ça revient à compter les éléments de E.
Et tu remarques que compter et dénombrer c'est fort semblable

Oui joker,

je sais ce qu'est une bijection, mais le truc que je ne comprends pas c'est comment ect ce que tu veux compter un truc infini ...

enfin bon je vois que je suis bien loin de comprendre cette histoire de denombrement d'ensemble infini.

JE vais revoir à tete reposé cette definition et chercher qq exemple pour bien comprendre le raisonnement.

Merci

[Joker62]

Bé c'est pas forcément compter, c'est juste comptable...

[juve1897]

Bé c'est pas forcément compter, c'est juste comptable...

Ok merci.

comme je l'ai dit plus haut, je crois que je vais d'abord revoir les bases (injection, bijection ect...) je comprendrais peut etre meiux la definition

[legeniedesalpages]

oui voilà,

pour deux ensembles finis E et F, tu peux compter leurs éléments pour pouvoir les comparer.

par exemple E est un panier avec trois salades, et F est une cage avec trois lapins, tu vois qu'il y a autant de salades que de lapins, donc tu vas pouvoir donner une salade à chaque lapin et il ne te restera plus de salade

Pour des ensembles infinis G et H, c'est un peu différent, tu peux plus compter comme pour les ensemble finis.
Cependant tu as des instruments tres pratiques, tu vois que si à chaque élément de G tu peux associer un unique élément de H (c'est à dire si tu as une bijection de G dans H), tu peux dire qu'ils ont autant d'éléments.
Et donc comme ça tu peux comparer aussi des ensembles infinis entre eux.

Ici tu prends l'ensemble des entiers naturels et tu regardes donc quels sont les ensembles qui ont autant d'éléments, tu vois que ça ne marche pas pareil que les ensembles finis, tu as des ensembles comme et qui contiennent autant d'éléments que , alors que ces ensembles contiennent non seulement mais aussi d'autres éléments que ceux de .
Tu vois aussi qu'il y a plusieurs types d'ensembles infinis car il y a des ensembles qui ne sont pas en bijection avec , (l'exemple direct est avec le théorème de Cantor).

[Joker62]

Que c'est mignon les laitues et les lapins :)

Mais sinon, c'est vrai que c'est étonnant de se dire qu'il y a autant d'élément dans Z que dans N alors que ces ensembles sont infinis, mais bon c'est comme ça :)

[juve1897]

oui voilà,

pour deux ensembles finis E et F, tu peux compter leurs éléments pour pouvoir les comparer.

par exemple E est un panier avec trois salades, et F est une cage avec trois lapins, tu vois qu'il y a autant de salades que de lapins, donc tu vas pouvoir donner une salade à chaque lapin et il ne te restera plus de salade

Pour des ensembles infinis G et H, c'est un peu différent, tu peux plus compter comme pour les ensemble finis.
Cependant tu as des instruments tres pratiques, tu vois que si à chaque élément de G tu peux associer un unique élément de H (c'est à dire si tu as une bijection de G dans H), tu peux dire qu'ils ont autant d'éléments.
Et donc comme ça tu peux comparer aussi des ensembles infinis entre eux.

Ici tu prends l'ensemble des entiers naturels et tu regardes donc quels sont les ensembles qui ont autant d'éléments, tu vois que ça ne marche pas pareil que les ensembles finis, tu as des ensembles comme et qui contiennent autant d'éléments que , alors que ces ensembles contiennent non seulement mais aussi d'autres éléments que ceux de .
Tu vois aussi qu'il y a plusieurs types d'ensembles infinis car il y a des ensembles qui ne sont pas en bijection avec , (l'exemple direct est avec le théorème de Cantor).

Milles mercis Legeniedesalpages.

je crois que j'ai compris ... :++:

MAis je ne vois pas comment tu veux trouver autant d'element dans Z que dans N alors que l'on sait que N est compris dans Z???

[juve1897]

Que c'est mignon les laitues et les lapins

Mais sinon, c'est vrai que c'est étonnant de se dire qu'il y a autant d'élément dans Z que dans N alors que ces ensembles sont infinis, mais bon c'est comme ça

c'est ce que je me demandais :hein:

[legeniedesalpages]

disons que les ensembles infinis ne suivent pas notre intuition de "nombre d'éléments",
mais vu la définition d'une bijection, et vu qu'on en a trouvé de Z dans N, c'est clair que N et Z ont autant d'éléments.

[juve1897]

disons que les ensembles infinis ne suivent pas notre intuition de "nombre d'éléments",
mais vu la définition d'une bijection, et vu qu'on en a trouvé de Z dans N, c'est clair que N et Z ont autant d'éléments.

donc si je comprends bien je dois à chaque fois trouver une fonction qui a autant d'elements dans son ensemble de depart que dans N (ensemble d'arrivée) ???

[legeniedesalpages]

donc si je comprends bien je dois à chaque fois trouver une fonction qui a autant d'elements dans son ensemble de depart que dans N (ensemble d'arrivée) ???

ça ne veut pas dire grand chose, une fonction n'a pas d'éléments, si tu veux montrer que E est en bijection avec N,

ou bien tu trouves une bijection , ou tu trouves une bijection , ou bien tu connais déjà un ensemble qui est en bijection avec , et tu trouves une bijection de dans , ou de dans .

Cela découle du fait que " et sont en bijection" est une relation d'équivalence.

[juve1897]

ça ne veut pas dire grand chose, une fonction n'a pas d'éléments, si tu veux montrer que E est en bijection avec N,

ou bien tu trouves une bijection , ou tu trouves une bijection , ou bien tu connais déjà un ensemble qui est en bijection avec , et tu trouves une bijection de dans , ou de dans .

Cela découle du fait que " et sont en bijection" est une relation d'équivalence.

Merci legenie,

je vais essayé de me debrouiller avec ce que tu m'as expliquer, mm si j'avoue que je ne vois pas trop comment faire.

:briques:

Edit: elles sont tres jolies tes forumules de maths, connais tu un site ou je pourrais apprendre le Latex ???

[legeniedesalpages]

un formulaire de base: http://www.tuteurs.ens.fr/logiciels/latex/maths.html

[juve1897]

un formulaire de base: http://www.tuteurs.ens.fr/logiciels/latex/maths.html

MErci bcp pour ton aide .

[minidiane]

Je suis toujours perdu pour la deuxième démonstration
quelqu'un peut-il m'aider?