Ensembles dénombrables

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Dyo
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Ensembles dénombrables

par Dyo » 13 Fév 2008, 17:27

Bonjour !

Voici un énoncé étonnant... (comprendre X\A pour )
Soient un ensemble et partie dénombrable dans . On demande de montrer que si est infini alors contient une partie dénombrable.

Si est infini alors il suffit de prendre un ensemble . Cet ensemble est bien dénombrable non ? Oo

Peut être que l'énoncé demande de justifier l'existence d'une partie infinie dénombrable dans , auquel cas l'énoncé est faux :p

Ou alors ma première idée est fausse ?



Dyo
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par Dyo » 13 Fév 2008, 17:35

Vu la suite de l'énoncé, je pense qu'il faut effectivement trouver une partie infinie dénombrable.

Quelqu'un a une petite indication pour se faire ?

Merci ;)

yos
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par yos » 13 Fév 2008, 17:36

Bonsoir.
Oui c'est ça : dénombrable est souvent entendu comme infini dénombrable. Sinon on dit au plus dénombrable.
Pourquoi veux-tu que ce soit faux?

yos
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par yos » 13 Fév 2008, 17:38

Tout ensemble infini contient une partie infinie dénombrable : tu là construis par récurrence.

Dyo
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par Dyo » 13 Fév 2008, 17:48

Oui c'est ça : dénombrable est souvent entendu comme infini dénombrable. Sinon on dit au plus dénombrable.

Merci pour cette précision.

Tout ensemble infini contient une partie infinie dénombrable : tu là construis par récurrence.

Ce résultat me paraît évident. Je tente:

On pose
Supposons qu'on a construit tel que . Alors il existe (sinon serait fini). On pose alors .
On obtient une suite infinie d'éléments tous différents et est un ensemble infini dénombrable dans

Ca suffit ?

yos
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par yos » 13 Fév 2008, 18:29

J'aurais fait pareil.

Dyo
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par Dyo » 13 Fév 2008, 18:40

Ok merci Yos.

Maintenant une question peut être un peu plus intéressante:

Montrer qu'il existe une bijection de dans .
On nous indique de poser , ainsi on peut écrire (les unions sont disjointes).

Doit-on expliciter une bijection ? Si non, quelle peut être une autre méthode ?

yos
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par yos » 13 Fév 2008, 19:13

Tu prends l'identité pour envoyer Y sur Y et tu bijectionnes A avec comme on le fait dans le cas dénombrable;
Intéressant. Heureusement qu'il y a l'indication.

ThSQ
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par ThSQ » 13 Fév 2008, 19:27

Remarquons quand même que le premier résultat nécessite l'Axiome du Choix.

Dyo
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par Dyo » 13 Fév 2008, 20:03

et tu bijectionnes A avec comme on le fait dans le cas dénombrable;

J'ai honte un peu de bloquer sur ce genre d'exos, tes indications me dépannent à chaque fois et rendent l'exo si facile, merci ^^

@ThSQ
On m'a énoncé plusieurs fois l'axiome du choix et je n'ai pas encore de recule suffisant pour voir où il est impliqué dans la question 1.
Je pense que tu dois faire allusion à ceci:
"Wikipédia" a écrit:Il existe des formes faibles de l'axiome du choix que le mathématicien utilise couramment, la plupart du temps sans s'en apercevoir à moins d'être logicien ou « constructiviste », et qui servent à « construire » des suites.


Merci en tout cas.

yos
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par yos » 13 Fév 2008, 20:09

ThSQ a écrit:Remarquons quand même que le premier résultat nécessite l'Axiome du Choix.

Je suis pas sûr : il s'agit pas d'un choix simultané. Une récurrence ne nécessite pas l'axiome du choix non?

ThSQ
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par ThSQ » 13 Fév 2008, 20:19

yos a écrit:Je suis pas sûr : il s'agit pas d'un choix simultané. Une récurrence ne nécessite pas l'axiome du choix non?


Si si, ça dépend de l'Axiome du choix dénombrable, une version aspartamé de L'AC.

ThSQ
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par ThSQ » 13 Fév 2008, 20:22

J'ai retrouvé le super article que j'avais lu :

http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Surveys/DehornoyChap4.pdf

Proposition 2.5.

ffpower
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par ffpower » 14 Fév 2008, 10:25

Ouais,une recurrence montre l existence d ensemble finis aussi grand que tu veux dans ton ensemble,mais pas d un ensemble dénombrable.Tes questions me rappellent des resultats classiques de theorie des ensembles

Si A et B sont 2 ensembles,soit il existe une injection de A dans B,soit il existe une bijection de B dans A

Si il existe une injection de A dans B et une injection de B dans A,alors il existe une bijection entre A et B

et mon préféré:
Si A est infini,il existe toujours une bijection entre A et A²

ThSQ
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par ThSQ » 14 Fév 2008, 18:55

ffpower a écrit:resultats classiques de theorie des ensembles



Et qui tous nécessite l'AC.

Un autre pertubant aussi : |f(A)| <= |A| pour tout A et toute fonction.

ffpower
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par ffpower » 14 Fév 2008, 19:55

celui aussi utilise AC(mais de maniere extrement elementaire la).Par contre le 2eme que j ai enoncé(cantor bernstein) ne s en sert pas

ThSQ
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par ThSQ » 14 Fév 2008, 21:19

ffpower a écrit:celui aussi utilise AC(mais de maniere extrement elementaire la).Par contre le 2eme que j ai enoncé(cantor bernstein) ne s en sert pas


Oui tu as raison, c'est le même mais avec des fonctions surjectives auquel je pensais :marteau:

 

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