Ensembles dénombrables
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Dyo
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par Dyo » 13 Fév 2008, 17:27
Bonjour !
Voici un énoncé étonnant... (comprendre X\A pour
)
Soient
un ensemble et
partie dénombrable dans
. On demande de montrer que si
est infini alors
contient une partie dénombrable.
Si
est infini alors il suffit de prendre un ensemble
où
. Cet ensemble est bien dénombrable non ? Oo
Peut être que l'énoncé demande de justifier l'existence d'une partie
infinie dénombrable dans
, auquel cas l'énoncé est faux :p
Ou alors ma première idée est fausse ?
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Dyo
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par Dyo » 13 Fév 2008, 17:35
Vu la suite de l'énoncé, je pense qu'il faut effectivement trouver une partie infinie dénombrable.
Quelqu'un a une petite indication pour se faire ?
Merci ;)
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yos
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par yos » 13 Fév 2008, 17:36
Bonsoir.
Oui c'est ça : dénombrable est souvent entendu comme infini dénombrable. Sinon on dit au plus dénombrable.
Pourquoi veux-tu que ce soit faux?
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yos
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par yos » 13 Fév 2008, 17:38
Tout ensemble infini contient une partie infinie dénombrable : tu là construis par récurrence.
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Dyo
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par Dyo » 13 Fév 2008, 17:48
Oui c'est ça : dénombrable est souvent entendu comme infini dénombrable. Sinon on dit au plus dénombrable.
Merci pour cette précision.
Tout ensemble infini contient une partie infinie dénombrable : tu là construis par récurrence.
Ce résultat me paraît évident. Je tente:
On pose
où
Supposons qu'on a construit
tel que
. Alors il existe
(sinon
serait fini). On pose alors
.
On obtient une suite infinie d'éléments tous différents et
est un ensemble infini dénombrable dans
Ca suffit ?
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yos
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par yos » 13 Fév 2008, 18:29
J'aurais fait pareil.
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par Dyo » 13 Fév 2008, 18:40
Ok merci Yos.
Maintenant une question peut être un peu plus intéressante:
Montrer qu'il existe une bijection de
dans
.
On nous indique de poser
, ainsi on peut écrire
(les unions sont disjointes).
Doit-on expliciter une bijection ? Si non, quelle peut être une autre méthode ?
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yos
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par yos » 13 Fév 2008, 19:13
Tu prends l'identité pour envoyer Y sur Y et tu bijectionnes A avec
comme on le fait dans le cas dénombrable;
Intéressant. Heureusement qu'il y a l'indication.
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par ThSQ » 13 Fév 2008, 19:27
Remarquons quand même que le premier résultat nécessite l'Axiome du Choix.
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par Dyo » 13 Fév 2008, 20:03
et tu bijectionnes A avec
comme on le fait dans le cas dénombrable;
J'ai honte un peu de bloquer sur ce genre d'exos, tes indications me dépannent à chaque fois et rendent l'exo si facile, merci ^^
@ThSQ
On m'a énoncé plusieurs fois l'axiome du choix et je n'ai pas encore de recule suffisant pour voir où il est impliqué dans la question 1.
Je pense que tu dois faire allusion à ceci:
"Wikipédia" a écrit:Il existe des formes faibles de l'axiome du choix que le mathématicien utilise couramment, la plupart du temps sans s'en apercevoir à moins d'être logicien ou « constructiviste », et qui servent à « construire » des suites.
Merci en tout cas.
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par yos » 13 Fév 2008, 20:09
ThSQ a écrit:Remarquons quand même que le premier résultat nécessite l'Axiome du Choix.
Je suis pas sûr : il s'agit pas d'un choix simultané. Une récurrence ne nécessite pas l'axiome du choix non?
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par ThSQ » 13 Fév 2008, 20:19
yos a écrit:Je suis pas sûr : il s'agit pas d'un choix simultané. Une récurrence ne nécessite pas l'axiome du choix non?
Si si, ça dépend de l'Axiome du choix
dénombrable, une version aspartamé de L'AC.
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par ffpower » 14 Fév 2008, 10:25
Ouais,une recurrence montre l existence d ensemble finis aussi grand que tu veux dans ton ensemble,mais pas d un ensemble dénombrable.Tes questions me rappellent des resultats classiques de theorie des ensembles
Si A et B sont 2 ensembles,soit il existe une injection de A dans B,soit il existe une bijection de B dans A
Si il existe une injection de A dans B et une injection de B dans A,alors il existe une bijection entre A et B
et mon préféré:
Si A est infini,il existe toujours une bijection entre A et A²
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ThSQ
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par ThSQ » 14 Fév 2008, 18:55
ffpower a écrit:resultats classiques de theorie des ensembles
Et qui tous nécessite l'AC.
Un autre pertubant aussi : |f(A)| <= |A| pour tout A et toute fonction.
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ffpower
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par ffpower » 14 Fév 2008, 19:55
celui aussi utilise AC(mais de maniere extrement elementaire la).Par contre le 2eme que j ai enoncé(cantor bernstein) ne s en sert pas
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ThSQ
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par ThSQ » 14 Fév 2008, 21:19
ffpower a écrit:celui aussi utilise AC(mais de maniere extrement elementaire la).Par contre le 2eme que j ai enoncé(cantor bernstein) ne s en sert pas
Oui tu as raison, c'est le même mais avec des fonctions surjectives auquel je pensais :marteau:
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