Ensembles dénombrables

[minidiane]

Bonjour je n'arrive pas à démontrer que tout sous-ensembles I de N est au plus dénombrable. (Si I infini, définir recursivement une application bijective de N sur I)
Quelqu'un peut m'aider?

[legeniedesalpages]

Bonjour, si I est infini tu poses

et pour .

[SimonB]

Bonjour je n'arrive pas à démontrer que tout sous-ensembles I de N est au plus dénombrable. (Si I infini, définir recursivement une application bijective de N sur I)

Tu peux facilement pallier ce problème en montrant qu'il existe une application surjective de N sur I (que I soit fini ou infini), ce qui correspond à ta définition d' "ensemble au plus dénombrable".

[minidiane]

a mais je n'ai pas bien compris la définition d'ensemble au plus dénombrable peux-tu me l'expliquer stp?
Merci

[legeniedesalpages]

C'est un ensemble qui est soit fini (c'est à dire qu'il existe tel que est en bijection avec ) , soit dénombrable (c'est à dire que I est en bijection avec ).

[SimonB]

a mais je n'ai pas bien compris la définition d'ensemble au plus dénombrable peux-tu me l'expliquer stp?

Je suppose que dans ta définition, "dénombrable" veut dire "il existe une bijection de N dans l'ensemble considéré", et "au plus dénombrable" veut dire "fini ou dénombrable".
Ca revient au fait de dire qu'il existe une surjection de N sur ton ensemble (intuitivement c'est évident : une surjection de N sur l'ensemble, ça veut dire qu'on peut indexer les éléments de celui-ci).

[minidiane]

A d'accord mais la surjection n'implique pas la bijection

[legeniedesalpages]

A d'accord mais la surjection n'implique pas la bijection

non mais tu peux restreindre ta surjection sur une partie de afin d'avoir une bijection.

[minidiane]

Ok et je peux prendre n'importe quoi pour I tant que i est inclu dans N?

[legeniedesalpages]

Je ne comprends pas, dans ton exo on te demande de montrer que toute partie de est au plus dénombrable.

Les parties finies de le sont par définition.
Reste à montrer pour les parties infinies de qu'elles sont en bijection avec .

[minidiane]

a ok donc en fait il faut faire ce qu'il y a entre parenthèse:définir recursivement une application bijective de N sur I mais je ne vois pas du tout comment faire

[legeniedesalpages]

Rappels:

i) Toute partie non vide de admet un plus petit élément.

ii) Toute partie non vide et majorée de admet un plus grand élément.



Donc tu considères une partie infinie de .

1) Tu montres que l'on peut définir une application vérifiant et pour tout entier .

2) Tu montres ensuite que f est injective et déduis-en que f est strictement croissante.

3) Soit et .
a) Vérifie que et que K est majoré par j.
b) Soit . Tu montres que et tu en déduis que I est en bijection avec .

[minidiane]

ok merci pour ton aide je viendrai si jamais j'ai encore un souci