Ensemble des nombres transcendants

par **Zweig** » 19 Juin 2010, 12:48

Bonjour,

Est-ce que cet ensemble est un corps ? Si oui, comment le montrer ?

(en fait, plus précisément, j'aimerai montrer que cet ensemble est stable pour la loi * et stable par produit par un réel, mais j'ai un peu de mal ...)

Merci.

par **Nightmare** » 19 Juin 2010, 13:02

Salut,

C'est clair que non, la loi + n'y est même pas interne.

par **benekire2** » 19 Juin 2010, 13:04

salut !

Je sais que pi et e sont transcendants, sauf que il n'est pas démontré que pi+e est transcendants ... donc je pense ( a prendre au conditionnel puisque je suis loin d'être calé en la matière) que c'est pas possible de montrer que c'est un corps.

par **abcd22** » 19 Juin 2010, 13:20

Bonjour,

Zweig a écrit:(en fait, plus précisément, j'aimerai montrer que cet ensemble est stable pour la loi * et stable par produit par un réel, mais j'ai un peu de mal ...)

Il n'est pas stable par la multiplication, car si un nombre est transcendant, alors son inverse aussi (car si un nombre est algébrique, alors son inverse aussi), et leur produit n'est évidemment pas transcendant. Il n'est pas non plus stable par produit par un réel puisqu'il n'est pas stable par multiplication, mais le produit d'un nombre transcendant et d'un nombre algébrique donne un nombre transcendant.

par **Zweig** » 19 Juin 2010, 13:23

mais le produit d'un nombre transcendant et d'un nombre algébrique donne un nombre transcendant.

Ah d'accord ! C'est en fait cette propriété que je cherchais (sans le savoir :we:). Ca se démontre aisément ?

par **Nightmare** » 19 Juin 2010, 13:26

Un quotient de deux algébriques est algébrique, donc...

par **Zweig** » 19 Juin 2010, 13:27

Pour être encore plus précis, en supposant connue la transcendance de \pi, je souhaite montrer que

est transcendant pour tout

.

Comme les nombres de Bernoulli sont rationnels, le facteur de

l'est aussi, c'est donc un nombre algébrique. Il me reste à montrer que

est transcendant ... Des idées ?

par **Nightmare** » 19 Juin 2010, 13:29

Les radicaux conservent l'algébricité, en l'occurrence tu peux passer à la racine 2k-ème.

P-S : Petite correction, un produit d'un nombre algébrique non nul par un transcendant donne un transcendant.

par **Zweig** » 19 Juin 2010, 13:33

Merci Nightmare !

par **alavacommejetepousse** » 20 Juin 2010, 09:13

abcd22 a écrit:Bonjour,

, mais le produit d'un nombre transcendant et d'un nombre algébrique donne un nombre transcendant.

bonjour
sauf si le nombre algébrique est nul

par **Arkhnor** » 20 Juin 2010, 10:26

Bonjour.

De toute manière, 0 et 1 ne sont pas transcendants, alors, à moins de changer les définitions de + et x, il n'y a aucune chance que ce soit un corps ...

par **kazeriahm** » 20 Juin 2010, 11:03

Arkhnor a écrit:Bonjour.

De toute manière, 0 et 1 ne sont pas transcendants, alors, à moins de changer les définitions de + et x, il n'y a aucune chance que ce soit un corps ...

mouais mais cet argument ne marche pas :

si E est un espace vectoriel et p un projecteur sur E alors l'espace vectoriel F engendre par p est un corps (isomorphe au corps de base de l'ev), bien que l'identite (l'element neutre pour la composition) n'appartienne pas à F

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