Montrer que l'ensemble des nombres entiers est infini

[alitshe]

Bonjour je cherche à démontrer que l'ensemble N est infini. Cette démonstration doit se faire par l'absurde j'ai donc supposé que N est fini, donc qu'il est équipotent à {1,2,....,n} donc il existe une bijection entre ces deux ensemble. je voulais trouver une fonction et montrer qu'elle ne peut pas etre bijective mais je ne sais pas comment faire.
Merci

[leon1789]

Quelle est ta définition de l'ensemble N ?
Quelle est ta définition des nombres entiers naturels ?

[alitshe]

L'ensembe N c'est les entiers naturels : 0,1,2,3,4 ..... et je cherche une bijection avec {1,2,3 .... n} n étant un entier naturel. Sauf que c'est évident que je ne trouverai pas de bijection parce que mon hypothèse est absurde.
J'ai essayé d'écrire une fonction phi : N -> {1,2,3...n}
x associe phi(x) = x+1
et je voulais dire que cette fonction n'est pas bijective car pas surjective
on a pris n dans N et phi(n) = n+1 qui n'est pas dans {1,2,....n}

[leon1789]

L'ensembe N c'est les entiers naturels : 0,1,2,3,4 .....

Ok, mais c'est quoi ta définition des entiers naturels ?

[alitshe]

je n'ai pas de définition a part 0,1,2,3,4 .... etc . je ne sais pas l'écrire d'une autre façon

[leon1789]

je n'ai pas de définition a part 0,1,2,3,4 .... etc . je ne sais pas l'écrire d'une autre façon

Il est difficile de faire des démonstrations rigoureuses sur des objets qui ne sont pas définis rigoureusement.

Regarde par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano#Axiomes

Dans cette définition, on voit que la fonction x +-> x+1 est injective (car x+1 est le successeur de l'entier x) et que 0 n'est pas dans l'image.

[Dlzlogic]

Salut Léon,

Dans cette définition, on voit que la fonction x +-> x+1 est injective (car x+1 est le successeur de l'entier x) et que 0 n'est pas dans l'image.

Que tu emploies des termes bizarres, "injective" (sous entendu pas forcément bijective, et forcément pas surjective), on se demande à quoi tu peux bien faire allusion. Sans avoir l'esprit mal-tourné, on pourrait tout imaginer. :help:
Pourquoi pas dire tout simplement que un entier est tel quel quelque soit un entier N, il existe un entier N' tel que N'= N+1 ?
C'était juste pour garder le contact ... :ptdr: :hum:

[adrien69]

Rien que quand tu écris 1,2,3, ... tu supposes que tu en as un nombre infini, alors bon...

[Dlzlogic]

Rien que quand tu écris 1,2,3, ... tu supposes que tu en as un nombre infini, alors bon...

Tout à fait d'accord avec toi.
Cependant il me semble qu'on cherche à définir puis en tirer une démonstration, une notion que n'existe qu'en théorie. Dans la réalité, l'infini n'existe pas. Donc, il faudrait le définir au sens mathématique. Pour cela il faudrait des mots pour l'expliquer, ce qui est impossible.
J'ai bien lu ce qu'a dit Cantor, donc inutile de me répondre sur ce point.
Personnellement, je préfère, de loin, l'expression "tendre vers l'infini". Ou aussi "l'ensemble N n'a pas de limite".

[nodjim]

Je n'ai pas vu que la question était de définir l'ensemble des entiers naturels. Au mieux, on peut en dire que les éléments de cet ensemble peuvent se classer du plus petit (0) au plus grand. On passe d'un entier au suivant en ajoutant 1. Maintenant, si tu essayes de donner le plus grand, il suffira d'ajouter 1 pour en trouver un plus grand encore.

[leon1789]

Tout à fait d'accord avec toi.
Cependant il me semble qu'on cherche à définir puis en tirer une démonstration, une notion que n'existe qu'en théorie. Dans la réalité, l'infini n'existe pas. Donc, il faudrait le définir au sens mathématique. Pour cela il faudrait des mots pour l'expliquer, ce qui est impossible.

C'est impossible d'expliquer ce qu'est un ensemble infini ??
Ben, pourtant c'est simple : un ensemble infini est un ensemble qui n'est inclus dans aucun ensemble fini (in-fini).

J'ai bien lu ce qu'a dit Cantor

:ptdr: Heureusement !

Personnellement, je préfère, de loin, l'expression "tendre vers l'infini".

Expression qui n'a rien à voir avec notre contexte. D'ailleurs, il faut être clair sur ce qu'elle signifie...

Ou aussi "l'ensemble N n'a pas de limite".

:doh: des histoires de limites quand on tend vers l'infini... Un ensemble qui aurait (ou pas) une limite...
allez, arrête d'écrire des bouts de phrases qui n'ont aucun sens mathématique.

[leon1789]

Je n'ai pas vu que la question était de définir l'ensemble des entiers naturels. Au mieux, on peut en dire que les éléments de cet ensemble peuvent se classer du plus petit (0) au plus grand. On passe d'un entier au suivant en ajoutant 1. Maintenant, si tu essayes de donner le plus grand, il suffira d'ajouter 1 pour en trouver un plus grand encore.

oui, la fonction f : x +-> x+1 est injective (car x+1 est le successeur de l'entier x) et 0 n'est pas dans l'image de cette fonction. Si on suppose que N = {0, 1, 2,..., n} alors l'application f envoie le sous-ensemble {0,1,...,n-1} sur {1,2,...,n} et l'entier n ne peut plus avoir d'image (puisque 1,2,...n sont déjà pris et que 0 ne peut pas être dans l'image par définition)

[leon1789]

Je n'ai pas vu que la question était de définir l'ensemble des entiers naturels. Au mieux, on peut en dire que les éléments de cet ensemble peuvent se classer du plus petit (0) au plus grand. On passe d'un entier au suivant en ajoutant 1. Maintenant, si tu essayes de donner le plus grand, il suffira d'ajouter 1 pour en trouver un plus grand encore.

oui, la fonction f : x +-> x+1 est injective (car x+1 est le successeur de l'entier x) et 0 n'est pas dans l'image de cette fonction.
Ainsi, si on suppose que N = {0, 1, 2,..., n} alors l'application f envoie le sous-ensemble {0,1,...,n-1} sur {1,2,...,n} et f(n) ne peut pas exister, puisque 1,2,...n sont déjà pris (f injective) et que 0 ne peut pas être dans l'image par définition.