L'ensemble des nombres irrationnels

[Georges10]

Bonjour à tous, j'espère que vous allez bien.

Ok svp j'aimerais savoir si l'ensemble des nombres irrationnels est un intervalle de R ?

[aviateur]

Bonjour
Je ne pense pas qu'on va t'aider en te donnant la réponse. Par contre, peux tu donner la définition d'un intervalle de ?

[pascal16]

Pour être un intervalle I de R, il faut contenir tous les éléments de R entre deux éléments a et b de I tels que a<=b du segment de R [a;b]
1 n'est pas irrationnel, donc tous les éléments x de R tels que -pi≤ x ≤ pi ne sont pas dans [-pi;pi]

En seconde, on voit que les intervalles de R sont "SANS TROU", ce qui permet aux suites de Cauchy d'avoir une limite dans R et au tvi d'exister.
Comment étudier une suite genre Un= 1-pi/n sinon ?

Wiki : la notation [-pi;pi] dans R\Q elle existe bien, elle définie les éléments x de R\Q tels que -pi≤ x ≤ pi, il suffit d'une relation d'ordre totale pour que ça ait un sens utilisable coté union et intersection.
Dans Z, on utilise [[-2;2]] pour lever toute ambiguïté.

Comme toujours, il y a une définition formelle qui passe soit par les suites soit par de la topologie générale, je laisse à ceux qui ont encore leur cours sous la main le soin de t'aiguiller.

[Georges10]

Bonjour
Je ne pense pas qu'on va t'aider en te donnant la réponse. Par contre, peux tu donner la définition d'un intervalle de ?

Merci pour ta réponse.

Un intervalle de R est un ensemble de nombre de nombres réels compris entre deux valeurs réelles.

[aviateur]

Bonjour
Merci pour ta réponse mais ce n'est pas ça. Attention à travailler constamment avec les bonnes définitions.
Regarde ce lien (définition générale)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Intervalle_(math%C3%A9matiques)

Maintenant à partir de la bonne définition, essayes de répondre à ta question en justifiant correctement.

[Georges10]

Voilà la définition qu'on donne d'un intervalle de R: on appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels constituant une borne inférieure et une borne supérieure.
Mais je ne vois pas comment établir le lien pour tirer une conclusion.
On sait qu'Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction a/b où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul).

C'est ce qui me fait penser que ça peut un intervalle de R.

Mais, si on tient compte de la densité de Q dans R et on raisonne par l'absurde en supposant q un intervalle [a, b] de R/Q est inclut dans R, ainsi on peut montrer R/Q n'est pas un intervalle de R.

Voilà un peu ce que je pense, peut être que j'ai fait une erreur.

Merci de me répondre !

[pascal16]

ne pas confondre
[a, b] est un intervalle de R/Q
c'est à dire : a et b sont dans R/Q , et c'est l’ensemble de tous les x de R/Q entre a et b

[a, b] est un intervalle de R
c'est à dire ici : a et b sont dans R/Q , et c'est l’ensemble de tous les x de R entre a et b

[Georges10]

Merci pour ta réponse

[aviateur]

Bon
La réponse c'est que n'est pas un intervalle de . ne vérifie pas la définition.

En effet, par exemple on sait que 1 et 2 sont dans , alors si était un intervalle de \R
on aurait [1,2] inclus dans mais c'est contradictoire avec n'est pas dans .