Endormorphismes- espaces orthogonaux

[ericsteph]

Salut,

j'arrive pas a demontrer que F et Forthogonal sont en somme directe! (F sev de E, E muni d'un produit scalaire)

pour la somme simple, c'est evident x= (x-xf) +xf xf appartient a F

et x-xf appartient a Forthogonal, mais comment prouver que l'intersection de F et son orthogonal se reduit aux vecteur nul?!


aussi autre question a part, soit dans E, un endomorphisme f, j'ai trouvé dans un exo, que E est la somme directe de kerf et imf, est-ce tout le temps le cas, est-ce que on pourrait le demontrer?!

merci

[abcd22]

Bonjour,

mais comment prouver que l'intersection de F et son orthogonal se reduit aux vecteur nul?!

Soit x appartenant à F et à F orthogonal, alors = ...

aussi autre question a part, soit dans E, un endomorphisme f, j'ai trouvé dans un exo, que E est la somme directe de kerf et imf, est-ce tout le temps le cas, est-ce que on pourrait le demontrer?!

Sans hypothèse supplémentaire sur E et f, non. Par exemple dans R², on prend pour f l'endomorphisme qui envoie (1, 0) sur (0, 0) et (0, 1) sur (1, 0), on a Im f = Ker f.

[Antho07]

Alors, on a E muni du produit scalaire que je noterais ( | ).

Soit x dans F et Forthogonal

alors comme x est dans Forthogonal, pour tout y de F, (x |y)=0.

En particulier pour y=x (car x est dans F).

On a donc (x | x)=0.

Le produit scalaire etant défini, on en déduit x=0.

Pour ta deuxieme question, non on a pas toujours E=kerf somme directe Im f.
Prenons par exemple, un endomorphisme qui vérifie f²=0.
on a Imf inclus dans ker f.


EDIT: Grillé par abcd, quand on met longtemps à taper aussi.....