Endomorphismes d'un espace euclidien

[jeje56]

Soit N une matrice inversible de taille nxn. Montrer qu'il existe une matrice orthogonale K et une matrice symétrique S telles que : N=KS

Merci d'avance...

[fahr451]

décomposition polaire
on suppose le résultat
on utilise tNN on trouve d 'abord la matrice symétrique S qui doit être une racinecarrée de tNN

[jeje56]

Qu'est ce que la décomposition polaire? Je ne connais pas.

[fahr451]

normal puisque c 'est le résultat que tu cherches à démontrer

je t'ai donné le début de la preuve


S^2...

[jeje56]

S^2=tNN => S^2 est orthogonale

[jeje56]

Ok, je n'avais pas vu la modif...

[jeje56]

Supposons : N = KS
S^2 = K^(-2)N² ?...

[jeje56]

S^2=(tK)²N² : suis-je sur la bonne piste?

[fahr451]

du tout

K est orthogonale

N = K S on transpose
tN = tStK

d'où
tN N = tS tK K S = S^2 car K orthogonale et S symétrique

[jeje56]

Ok, merci !!!