Endomorphisme bijectif d'un espace euclidien

par **ze zoune** » 28 Juin 2013, 16:22

Bonjour à tous,

En bossant mes oraux je me suis retrouvé à buter sur un exercice, voici l'énoncé:

Soit E un espace euclidien de dimension n>=2, f et g deux endomorphismes symétriques, les valeurs propres de f étant toutes strictement positives.

1) Montrer que f est bijectif.

2) Montrer que

définit un produit scalaire.

3) fog est il diagonalisable ? Que peut-on dire de gof ?

Ma question est: est ce qu'un endomorphisme symétrique est nécessairement orthogonal (et dans ce cas est un automorphisme, donc bijectif) ?

Merci d'avance !

par **Luc** » 28 Juin 2013, 16:28

Bonjour,

non, il existe des endomorphismes symétriques non orthogonaux. 2Id par exemple.

par **ze zoune** » 28 Juin 2013, 16:56

Ça aurait été trop simple !

Sinon, il s'agirait de montrer que f est inversible, et donc que le déterminant de sa matrice associée dans une base quelconque est non nul. Est ce que la positivité des valeurs propres a à voir avec ça ?

par **spike0789** » 28 Juin 2013, 17:00

Bonjour,

Ca pourrait être utile effectivement. Que dire d'un endomorphisme symétrique réel ?

par **ze zoune** » 28 Juin 2013, 17:07

f est symétrique, donc diagonalisable, c'est-à-dire qu'il existe une base formée des vecteurs propres de f. Mais que dire de vecteurs propres associés à des valeurs propres positives ?

par **spike0789** » 28 Juin 2013, 17:17

Si f est diagonalisable (en BON), son déterminant est égal à celui de la matrice diagonale correspondante, qui est égal à...

par **ze zoune** » 28 Juin 2013, 17:23

Qui est nécessairement non nul vu que les coefficients diagonaux (qui sont les valeurs propres de f) sont tous strictement positifs.
Je peux en déduire que f est inversible, donc qu'il s'agit d'un endomorphisme bijectif, est ce bien cela ?

par **Luc** » 28 Juin 2013, 17:40

ze zoune a écrit:Qui est nécessairement non nul vu que les coefficients diagonaux (qui sont les valeurs propres de f) sont tous strictement positifs.
Je peux en déduire que f est inversible, donc qu'il s'agit d'un endomorphisme bijectif, est ce bien cela ?

En fait l'inversibilité de f n'a rien à voir avec sa diagonalisabilité. Dire que f est inversible, c'est juste dire que 0 n'est pas valeur propre de f, par définition des valeurs propres, et c'est vrai par hypothèse.

par **ze zoune** » 28 Juin 2013, 19:05

Ok c'est ce que je cherchais à montrer, merci beaucoup !

Endomorphisme bijectif d'un espace euclidien

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