Element de la tribu de Borel

[Ncdk]

Bonjour,

Je faisais quelques exercices de bases sur des ensembles pour savoir s'ils appartenaient à la tribu de Borel, et je suis tombé sur quelque chose que je comprends pas :we:

Je dois montrer que l'ensemble appartient à la tribu de Borel.

J'ai donc dit que c'était
Donc est un ouvert, il est dans les boréliens de

Mais concernant les singletons en général, il me semble que j'ai pu voir en topologie que les singletons sont fermés, il me semble que c'est pas toujours le cas, mais dans ça l'est (j’espère ne pas dire de bétises).

Mais ,

Mais pourtant, si mes souvenirs sont encore bon, une intersection infinie d'ouvert n'est pas forcément un ouvert.

Je sais pas comment montrer que le singleton appartient aux boréliens de .
En gros ça revient à montrer que est fermé non ?

[MouLou]

Mais concernant les singletons en général, il me semble que j'ai pu voir en topologie que les singletons sont fermés, il me semble que c'est pas toujours le cas, mais dans ça l'est (j’espère ne pas dire de bétises).

Mais

Mais pourtant, si mes souvenirs sont encore bon, une intersection infinie d'ouvert n'est pas forcément un ouvert.

Ce n'est pas vrai qu'un singleton est toujours fermé en topologie (par exemple la topologie grossière, où les seuls ouverts sont et l'ensemble tout entier, les fermés sont par définition ces 2 ensembles aussi.

Par contre quand tu te places dans les trucs pas foireux (souvent on prend la topologie associée à la norme usuelle sur ) alors oui c'est vrai. ( est ouvert non?

Du coup oui c'est vrai que une intersection infinie d'ouvert n'est pas forcéemnt ouverte, et je vois pas en quoi c'est problématique dans ton cas, puisque tu ne veux pas montrer que x est ouvert si?

Donc oui ta facon de procéder est bonne, et les singletons sont des fermés.

Je crois d'aileurs que quand on parle de Borélien sur ou plus générallement sur on se place toujours implicitement sur la topologie associée à la norme usuelle.

[Ncdk]

Oui c'est ça, mais ce que je voulais dire que c'est qu'une intersection infinie d'ouvert n'est pas forcément un ouvert, mais ça peut être un ouvert, un fermé ou aucun des deux.
Mon but c'est d'avoir soit un fermé, soit un ouvert, et c'est ça que j'arrive pas à prouver en fait, avec mon intersection.

Je voulais passer au complémentaire histoire de voir à quoi ça ressemble. Mais j'ai un peu de mal :ptdr: