Egalité à démontrer
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tony800
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par tony800 » 16 Oct 2007, 18:47
Bonjour,
J'ai une égalité à démontrer mais je n'y arrive pas. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à la démontrer?
Voici l'énoncé :
=1+z^2+z^4+z^6+...+z^{(2n-2)}})
Démontrer l'égalité :
=\prod_{k=1}^{n-1}(z^2-2z cos(k\frac{\Pi}{n})+1)})
La question précédente me demandait de calculer les solutions de
+1=0})
J'ai trouvé :
et
J'ai essayé de développer le produit mais ceci ne me donne pas grand chose.
Merci d'avance à quiconque qui m'aidera.
Au revoir.
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alben
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par alben » 16 Oct 2007, 20:09
Bonjour,
Ta première égalité se ramèbe à
(z^2-1)=z^{2n}-1})
car c'est une suite géométrique.
et la seconde à
(z^2-1)=\prod_{k=-(n-1)}^{n}(z-e^{ik\frac{\Pi}{n}}))
en remarquant que
(z-e^{i0\frac{\Pi}{n}}))
Les racines du premier polynome sont les racines 2n-ième de l'unité, d'où la seconde écriture de ce polynome...
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tony800
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par tony800 » 16 Oct 2007, 20:19
Merci beaucoup pour votre aide.
Mais comment faites vous pour démontrer la cette égalité :
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alben
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par alben » 16 Oct 2007, 20:43
tony800 a écrit:La question précédente me demandait de calculer les solutions de
J'ai trouvé :
et
Donc
+1=(z-z_1)(z-z_2)})
et en remplaçant cette expression dans l'égalité à prouver, on a à montrer que Sn est le produit des
)
pour k allant de -1 à -(n-1) et k allant de 1 à n-1...
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tony800
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par tony800 » 16 Oct 2007, 21:17
Ok merci, je comprends mieux maintenant.
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