DSE et continuité

[Pseuda]

Bonsoir,

Concours E3A PC 2016, il est écrit : montrer que la fonction définie par : admet un développement en série entière sur un disque de centre 0 et de rayon > 0.

Il me semble qu'il y a une erreur. Merci d'avance !

[FLBP]

Ton erreur vient du fait de la division par 0 quand z vaut 0 ?

[Ben314]

Salut,
Non, il n'y a pas la moindre erreur : la fonction est évidement développable en série entière au voisinage de 0 et son développement commence par (i.e. pas de terme constant).
Donc la fonction pour et est développable en série entière avec un terme constant non nul donc son inverse pour et est aussi développable en série entière au voisinage de 0 (et si on connaît la théorie des fonctions holomorphes, on peut aussi affirmer sans calculs que le rayon de convergence est R=1 vu qu'elle admet des pôles en )

[Pseuda]

Bonsoir,

Ok. Le seul souci, c'est que si la fonction T est DSE, donc égale à une série entière, par théorème celle-ci est continue sur le disque de convergence. Or T n'est pas continue en 0 puisque sa limite en 0 est -i. D'où une contradiction.

[Ben314]

Ah, effectivement, j'avais même pas regardé que la valeur en 0 était donnée et fausse.
Mais c'est quand même on ne peut plus bénin comme erreur, non ?

[Pseuda]

Bonjour,

Merci. C'est bénin sauf que c'est dans un sujet de concours, et certains élèves peuvent se mettre à recommencer 10 fois le calcul (ce que j'ai fait), ne voulant pas croire à une telle erreur, leur faisant perdre du temps injustement.