Doute sur la rédaction d'un exo de probabilité

[PythagoreSauvage]

Bonjour à tous, il s'agit d'un exercice préalable au chapitre "Variables aléatoires à densité" donc je ne suis censé utiliser que les outils des variables aléatoires discrètes ou des probas en général. Voilà l'exercice :

On tire au hasard un réel dans l'intervalle . On note la variable aléatoire réelle . Calculer :

1)
2)

Voici comment j'ai raisonné. Soit l'ensemble des réels compris dans l'intervalle . Puisqu'il y a équiprobabilité à tirer un réel aléatoirement sur et que l'ensemble est infini, on a . Je n'ai pas voulu noter car je me suis dit que cela n'aurait pas de sens de parler du cardinal d'un ensemble infini..

Pour la seconde, si je note l'ensemble des réels compris dans l'intervalle , j'ai envie de dire qu'il y a 2 fois plus de réels compris dans l'ensemble que dans (mais est-ce correct de dire ça ?) donc clairement là encore je m'imagine qu'on ne puisse pas écrire .

Qu'en pensez-vous ?

[Mateo_13]

Bonjour PythagoreSauvage,

la probabilité de X=0,5 est bien égale à zéro,
car il y a une infinité d'événements équiprobables,
mais la notation avec la limite est inutile.

On peut démontrer qu'il y a autant de réels dans que dans ,
puisqu'il existe une bijection simple de l'un dans l'autre,
mais c'est l'argument sur les longueurs de ces intervalles qui permet de conclure.

Cordialement,

[PythagoreSauvage]

En effet, je me suis trompé, il y a autant de réels dans que dans une bijection simple pouvant s'écrire :

Mais alors n'est ce pas paradoxal ? Les deux ensembles comportent le même nombre de réels, mais l'un est 2 fois plus long que l'autre ? Et il y a quand même une infinité de réels qui sont dans [0, 1] et pas dans [0, 1/2] non ? Genre ]1/2, 1]

Et d'où vient que dans ce cas ?

Pourquoi la probabilité fait intervenir les longueurs des intervalles et non le nombre de réels qu'il y a dedans

De manière générale je n'arrive pas à faire le distinguo entre la longueur de l'intervalle et le nombre de réels qu'il contient

[Mateo_13]

Un paradoxe de l'infini est que le tout peut avoir autant d'élément qu'une partie.

Il n'y a pas de lien entre longueur est nombre de points d'un segment, puisqu'un point n'a pas de dimension.

La proba fait intervenir des longueurs (ou les aires) proportionnellement de manière intuitive.
Si on double la longueur on double la proba.
La théorie de Maths formalisera cela.

[catamat]

Bonjour
X obéit à la loi uniforme continue d'intervalle [0;1]
Voir
https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_uniforme_continue

p(X<=0,5)=F(0,5)=(0,5-0)/(1-0)=0,5