Divergence d'une matrice

par **totor** » 22 Déc 2006, 11:04

Bonjour,

Savez vous s'il est possible de calculer la divergence d'une matrice appliquée à un vecteur ? Je voudrais calculer

où A est une matrice de taille N par M et x un vecteur de taille M.

merci par avance

par **tize** » 22 Déc 2006, 11:38

Excuse moi de mon ignorance mais c'est quoi la définition de la divergence d'un matrice ??

par **totor** » 22 Déc 2006, 11:49

salut,

en fait la divergence d'une matrice je crois que c'est la divergence appliquée a chacune des lignes. Mais dans mon cas c'est la divergence d'une transformation linéaire appliquée à un vecteur que je veux calculer. En fait c'est ca :

http://mathworld.wolfram.com/Divergence.html (tout en bas)

The divergence of a linear transformation of a unit vector represented by a matrix A is given by the elegant formula

Mais je comprend pas comment il fait pour trouver ca. Et moi je voudrai juste calculer

sans la normalisation en fait. Pourriez vous m'aider ?

merci encore

par **tize** » 22 Déc 2006, 12:17

C'est lineaire il me semble...si tu veux juste calculer ça :

il suffit de multiplier la formule

par

...non ?

par **fahr451** » 22 Déc 2006, 12:21

lxl n'est pas une constante mais "la variable"

par **totor** » 22 Déc 2006, 12:33

tize a écrit:C'est lineaire il me semble...si tu veux juste calculer ça : il suffit de multiplier la formule par ...non ?

c sûr ? Est ce que tu saurais comment il fait pour obtenir ce résultat .. ? j'aimerais bien comprendre ....

en fait, je vais préciser. Dans mon cas j'ai une matrice

où S est une matrice, et un vecteur

.

Sachant que

...

est ce qu'on peut dire que

??

je sens que c'est faux, mais bon c'est tout ce que j'ai trouvé :hum:. :triste: :cry:

merci beaucoup par avance

par **jose_latino** » 22 Déc 2006, 15:22

Bonjour Totor, je crois que simplement tu as besoin de trouver la divergence d'un champ vectoriel linéaire, ça veut dire, du champ

défini par

, c'est juste la trace de la matrice A. On peut dire que la divergence est un généralisation de la trace, car on peut écrire pour un champ vectoriel

,

, pour ce cas, simplement

par **totor** » 22 Déc 2006, 16:03

Salut José !

merci pour ta réponse. Mais dans ce cas pourquoi dans ce lien http://mathworld.wolfram.com/Divergence.html dont j'ai parlé plus haut il y a un terme en plus ??

En fait dans mon problème je travaille en 2d, je cherche à minimiser

où je connais I, W et S et je cherche à trouver les coefficients

. Les coefficients c il y en a 2M, b est un vecteur de taille N, W un "vecteur" composé de matrices diagonales de taille NxN : W = [W_u W_v]. I est une matrice diagonale de taille 2Nx2N. S est une matrice de taille 2Nx2M qui est symmétrique :

où S_c est une matrice de taille NxM.

Ma solution finale est un champ de vecteurs 2d. Pour cela je doit trouver les coefficents c={c_u, c_v}.... J'arrive à le faire sans le terme en Idiv(w), c'est à dire pour

ou j'obtient - en développant et en dérivant par rapport à c:

soit pour simplifier :

en posant Q = WS. Apres il faut juste inverser la matice pour trouver c.

Mais le problème c'est que je ne sais plus comment faire avec la divergence, est-ce que tu es sûr que c'est la trace dans mon cas ? car mes variables sont les coefficients c.

merci par avance

par **jose_latino** » 22 Déc 2006, 16:14

La divergence du lien est simplement la divergence de la composée de

avec

, où

est un champ vectoriel qui n'est pas nul. C'est bien la trace de

. Sinon, tu peux m'expliquer ton problème complet.

par **totor** » 22 Déc 2006, 16:17

je peux te l'expliquer mais c'est assez long !! Mais dans mon cas j'ai l'impression que c'est la même chose que pour le lien non ? car je calcule la divergence d'une matrice appliquée à un vecteur c = {c_u, c_v} cad div (Sc) ...? et c n'est pas constant

merci encore pour ta réponse :)

par **jose_latino** » 22 Déc 2006, 16:26

À mon tu as confondu la notation vectorielle. Je suis sûr que tu comprendras immédiatement:
C'est quoi la divergence de

?, où

sont constantes.

par **totor** » 22 Déc 2006, 16:36

jose_latino a écrit:À mon tu as confondu la notation vectorielle. Je suis sûr que tu comprendras immédiatement:
C'est quoi la divergence de ?, où sont constantes.

c'est la trace de F , soit a+e+i :p en fait, je ne comprend pas comment dans le lien il obtient ce résultat ...pourrais tu me l'expliquer ?

par **jose_latino** » 22 Déc 2006, 17:23

Justement!,

, où

Dans le lien, il y a beaucoup de abus de notation, même dans ton cas.

Soit

, défini par

, où

(on identifie ici les vecteurs de l'espace avec les vecteurs colonne).

.
En outre

(*)
Donc:

Remplace en (*) et tu obtiendras le résultat.

par **totor** » 22 Déc 2006, 18:03

En outre

(*)

Merci ...est ce que tu pourrais expliciter cette ligne car je ne suis pas très fort en maths ! :help:

par **jose_latino** » 22 Déc 2006, 18:13

Si on a

et

(dérivables):

, dans notre cas

et

par **totor** » 22 Déc 2006, 18:19

ok, je crois que je comprends "à mon niveau" : en fait on a deux fonctions donc tu utilise sla formule des dérivées de quotient :

avec u = |x| et v = Ax ... et donc on aurait dans le cas où on a juste une fonction, Ax :

est-ce bien cela ?

par **jose_latino** » 22 Déc 2006, 19:11

Oui, c'est tout à fait ça, mais c'est à l'envers:

(denominateur corrigé)

,

. Dans le message 11, je te demande d'une autre façon de démontrer:

Bon courage! :zen:

par **totor** » 23 Déc 2006, 12:26

jose_latino a écrit:Oui, c'est tout à fait ça, mais c'est à l'envers:

(denominateur corrigé)

, . Dans le message 11, je te demande d'une autre façon de démontrer:

Bon courage! :zen:

merci pour ta réponse :we: :we: !!!

:happy2:

oops, j'ai fait une petite erreur dans le dénominateur :doh: ...

Le problème c'est que quand j'utilise la trace, qui est un scalaire, la taille de mes matrices n'est plus bonne !!!!!!!!!!!! :cry:

car mes matrices ne sont pas carrées !!!

pour expliciter mon problème je cherche le minimum de

Soit en posant

et

pour simplifier les écritures :

Le minimum de cette fonctionnelle (supposée convexe) est trouvé en cherchant c tel que

Donc, si je developpe l'expression (1) je trouve :

soit,

les "..." correspondent à un ensemble de termes qui ne dépendent pas de c donc serons nuls à la dérivation, je ne les mets pas ici.

Donc ..... en dérivant par rapport à c je trouve avec les formules de dérivations de matrices symmétriques :

ET avec Q qui est une matrice de taille Nx2M, donc

qui est une matrice de taille 2M x 2M et b un vecteur de taille 2M et pour moi, je dirais que I est une matrice diagonale de taille 2N x 2N ? car j'ai N données I au départ et je suis en deux dimensions (la solution est un champ de vecteurs 2d)

En fait, le problème que j'ai c'est que la taille des lignes de mes matrices est bonne, c'est 2M .....mais pas la taille des colonnes , car sans le terme en divergence elle est normalement de taille 2M x 2M pour les matrices

et 2M pour le vecteur

...mais là je dois additioner avec la matrice qui dépend de la trace, c'est à dire

qui est de taille 2M par 2N donc c'est impossible et je vois pas comment faire ... car les colonnes n'ont pas le meme nombre :triste: ..

n'a pas le meme nombre de colonnes que

:crash:

pourrais tu m'aider ou me dire si j'ai fait une erreur ?

Merci beaucoup encore par avance :euh:

par **jose_latino** » 27 Déc 2006, 14:27

Bonjour, désolé pour le rétard. Il y a une chose basique que tu dois éclaircir:
Tu as écrit: "Qc+aI+b". Donc, est-ce que

et

sont des matrices carrées?, apparement c'est pas l'idée ici. Le truc est dans l'expression

, la divergence nous donne toujours un scalaire. Tu t'es posé le problème?, sinon dis-moi où on peut trouve l'ennoncé. Bon courage

par **totor** » 28 Déc 2006, 17:06

jose_latino a écrit:Bonjour, désolé pour le rétard. Il y a une chose basique que tu dois éclaircir:
Tu as écrit: "Qc+aI+b". Donc, est-ce que et sont des matrices carrées?, apparement c'est pas l'idée ici. Le truc est dans l'expression , la divergence nous donne toujours un scalaire. Tu t'es posé le problème?, sinon dis-moi où on peut trouve l'ennoncé. Bon courage

Salut :happy2:

Dans mon cas

et

sont des vecteurs. "c" est la solution que je cherche, il y en a 2M car c'est des vecteurs 2d (M pour la composante verticale et M pour la composante horizontale) et "b" sont les données d'attaches, c'est un scalaire et il y en a N. Je t'ai envoyé le sujet par email

merci encore :briques:

Divergence d'une matrice

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