Gradient d'une divergence

[LafTors]

Bonjour,

J'ai commencé aujourd'hui un petit cours sur les opérateurs différentiels et l'une des égalités que l'ont m'a donné m'intrigue un peu :

rot (rot F )) = - Laplacien(F) + grad ( div F )

Alors j'ai vu sur wikipédia des preuves concernant cette égalité mais je n'arrive pas à comprendre comment il est possible de faire le gradient d'un scalaire.

Plus qu'une démonstration mathématique, je pense surtout avoir besoin d'explications

Merci d'avance !

[Pisigma]

Bonjour,

J'ai commencé aujourd'hui un petit cours sur les opérateurs différentiels et l'une des égalités que l'ont m'a donné m'intrigue un peu :

rot (rot F )) = - Laplacien(F) + grad ( div F )

Alors j'ai vu sur wikipédia des preuves concernant cette égalité mais je n'arrive pas à comprendre comment il est possible de faire le gradient d'un scalaire.

Plus qu'une démonstration mathématique, je pense surtout avoir besoin d'explications

Merci d'avance !

Bonsoir,

Je pense que ceci pourrait t'intéresser http://www-liphy.ujf-grenoble.fr/pagesperso/bahram/Math/chap_DifOperateur.pdf

[LafTors]

Merci pour votre recherche... malheureusement je n'ai trouvé aucun article détaillant un gradiant d'un scalaire (Sauf la démonstration wikipédia que j'avoue ne pas avoir scruté en détail : https://fr.wikipedia.org/wiki/Rotationnel_du_rotationnel#D.C3.A9monstration ).

Toute autre aide sera aussi volontiers acceptée

[Pisigma]

Merci pour votre recherche... malheureusement je n'ai trouvé aucun article détaillant un gradiant d'un scalaire (Sauf la démonstration wikipédia que j'avoue ne pas avoir scruté en détail : https://fr.wikipedia.org/wiki/Rotationnel_du_rotationnel#D.C3.A9monstration ).

Toute autre aide sera aussi volontiers acceptée

A ma connaissance, on défini:

1°) un champ scalaire quand à chaque point de l'espace correspond un scalaire dont la valeur dépend de sa position, l'ensemble de ces scalaires s'appelle un champ scalaire.

Un champ vectoriel est caractérisé par sa divergence et son rotationnel.

2°) le gradient : dans un champ scalaire, le gradient en un point est un vecteur

Je pense que tu confonds le champ qui est scalaire et le gradient qui est une grandeur vectorielle ou alors j'ai mal compris ta question.

[LafTors]

J'essaie juste de comprendre un morceau de la formule du double rotationnel qui dit que :

le rotationnel du rotationnel d'un vecteur A = grad (div (A) ) - Laplacien(A)

Ceci est une formule que je dois connaitre et justement je ne comprends pas comment il est possible de faire le gradient d'un scalaire ( ici div(A) ) vu que le gradient s'applique à un champ...

[Pisigma]

J'essaie juste de comprendre un morceau de la formule du double rotationnel qui dit que :

le rotationnel du rotationnel d'un vecteur A = grad (div (A) ) - Laplacien(A)

Ceci est une formule que je dois connaitre et justement je ne comprends pas comment il est possible de faire le gradient d'un scalaire ( ici div(A) ) vu que le gradient s'applique à un champ...

Dans un champ vectoriel, la divergence du vecteur considéré en un point est un scalaire égal à la dérivée volumique du flux scalaire du vecteur à travers la surface élémentaire fermée entourant ce point.

Mais en chaque point du champ vectoriel peut correspondre un scalaire, dans ce cas la divergence d'un champ vectoriel est un champ scalaire.

[L.A.]

Bonjour,

peut-être qu'une écriture en coordonnées peut aider :

si A = (A_x,A_y,A_z) est un champ de vecteur (chaque A_i est une application de R^3 dans R)

sa divergence est un champ de scalaires

div A = dA_x/dx + dA_y/dy + dA_z/dz

et l'opérateur gradient s'applique à un champ scalaire et fournit un champ vectoriel

grad (f) = (df/dx,df/dy,df/dz)
grad (div A) = (d²A_x/dx² + d²A_y/dxdy + d²A_z/dxdz, ...)

[Sake]

J'essaie juste de comprendre un morceau de la formule du double rotationnel qui dit que :

le rotationnel du rotationnel d'un vecteur A = grad (div (A) ) - Laplacien(A)

Ceci est une formule que je dois connaitre et justement je ne comprends pas comment il est possible de faire le gradient d'un scalaire ( ici div(A) ) vu que le gradient s'applique à un champ...

Salut,

Ah ça, ça m'étonne. En général, la première chose que l'on voit (du moins en classes prépa) dans une introduction aux opérateurs d'analyse vectorielle, c'est justement que le gradient s'applique à un champ de scalaires. Il me semble qu'il existe plusieurs gradients, qu'ils s'appliquent à un champ de tenseurs d'ordre 0, 1, 2, etc.