Distance

par **legeniedesalpages** » 05 Déc 2007, 01:01

Bonsoir je bloque sur cette proposition:

sur

, on pose:

Je n'arrive pas à montrer qu'elle définissent une même topologie.

Pour commencer je commence à essayer de montrer que toute boule ouverte

est ouverte dans

.

Soit

une boule ouverte pour

.
Il faut donc montrer que pour tout

, il existe

, tel que

[CENTER]

[/CENTER]

On a

, donc

tel que pour tout

,

,

et à partir de là, je ne vois pas comment continuer :marteau:

Merci pour votre aide.

par **tize** » 05 Déc 2007, 01:36

Bonsoir,
tu veux faire ça à la main...on peut montrer plus simplement que l'identité de

dans

est un homéomorphisme (cela revient au même...)
Pour ce que tu veux faire, tu peux remarquer que

alors si

vérifie

t.q.

c'est pas très difficile,

dépend de

...

par **legeniedesalpages** » 05 Déc 2007, 01:39

ah d'accord merci tize,

une chose aussi qui me trouble,

Si l'identité est un homéomorphisme alors les distances sont équivalentes dans le sens où elle définisse la même topologie (ça c'est ok), mais ça implique pas que ces deux distances tendent simultanément vers 0 ?

par **tize** » 05 Déc 2007, 01:52

Attention !!!
Il y a une différence entre distances équivalentes et distances topologiquement équivalentes. La première implique la seconde et signifie qu'il existe a>0 et b>0 t.q. a*d1(x,y)<=d2(x,y)<=b*d1(x,y).
La seconde n'implique pas la première et signifie simplement que les distances définissent les même ouverts...

par **legeniedesalpages** » 05 Déc 2007, 01:56

ah d'accord, je commence à saisir la nuance,
par contre ces deux définitions coincident pour le cas où les deux distances sont induites chacune par une norme.

Merci Tize.

par **legeniedesalpages** » 05 Déc 2007, 12:35

tize a écrit:Pour il suffit alors de trouver t.q. c'est pas très difficile, dépend de ...

Je vois pas comment trouver

?

En devéloppant, je trouve:

ie

Et là je vois pas comment majorer |x| et |y|.

par **tize** » 05 Déc 2007, 13:16

majorer |xy| est assez facile, il faut se rappeler que |x| est fixé, on peut donc le majorer (par une constante M par exemple) et si |1/x-1/y|<1/(2M) alors y est aussi majorée (par 2M)...

par **legeniedesalpages** » 05 Déc 2007, 22:01

je ne vois pas du tout :hein:

si je majore j'ai

.

Et après si

alors

?

par **ThSQ** » 05 Déc 2007, 22:02

On peut aussi raisonner avec les fermés et utiliser la caractérisation séquentielle des fermés.
Et là c'est immédiat

.
Les deux topologies issues de métriques ont les mêmes suites convergentes donc les mêmes fermés.

par **legeniedesalpages** » 05 Déc 2007, 23:19

ok je vois merci ThSQ :)

par **tize** » 06 Déc 2007, 14:16

legeniedesalpages a écrit:je ne vois pas du tout :hein:
si je majore j'ai .
Et après si alors ?

Et bien si

...
Donc si tu prends

alors

pour

bien choisi.

par **ThSQ** » 06 Déc 2007, 18:48

tize a écrit:

:hein: x = 2, y = 10, M = 1 ??

par **tize** » 06 Déc 2007, 19:49

ThSQ a écrit::hein: x = 2, y = 10, M = 1 ??

Relis depuis le début, M n'est pas n'importe qui, c'est un majorant de x.

par **ThSQ** » 06 Déc 2007, 20:26

Xcuze ... :briques:

par **tize** » 06 Déc 2007, 20:34

No Problemo :we:

par **legeniedesalpages** » 06 Déc 2007, 21:01

tize a écrit:Et bien si ...

Oui mais c'est surtout ce point qui me gêne:

ie

,

comment en déduire que

?

:briques: :help:

par **tize** » 06 Déc 2007, 21:17

Bon, quand même...

donc

Si tu veux je peux aussi développer la dernière inégalité ? :we:

par **legeniedesalpages** » 06 Déc 2007, 21:29

non c'est bon, que je suis bête :briques:

merci tize pour ta patience :)

par **tize** » 06 Déc 2007, 21:36

De rien, non problemo :we:
il est vrai que la méthode des boules ouvertes n'est pas la plus évidente et la plus rapide...
Bonne continuation.

par **sandrine_guillerme** » 07 Déc 2007, 16:41

ThSQ a écrit:On peut aussi raisonner avec les fermés et utiliser la caractérisation séquentielle des fermés.
Et là c'est immédiat .
Les deux topologies issues de métriques ont les mêmes suites convergentes donc les mêmes fermés.

Voici le genre de phrase qui ne sert à rien :

ATTENTION :

.
cette equivalence résulte de la continuité de
h : ]0, +

[ -> ]0, +

[
x ->

M'enfin, c'était juste pour dire quelque chose :we:

Distance

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