Distance sur un ensemble

[pierresimpore]

Bonjour, pouvez-vous me donnez un coup de pouce sur cet exo:

soit f:R+ ----> R+ , une fonction satisfaisant les conditions:

pour tout x,y de R+ , f(x)=0 <=> x=0, x < y => f(x) < f(y), f(x,y) < f(x) + f(y).

1) Montrer que si d est une distance sur un ensemble E alors f 0 d est aussi une distance sur E.

2) montrer que \sqrt{ | x - y | } \frac{ | x - y | }{1+ | x - y | } definissent des distances sur R equivalentes à la distance usuelle.

Mes elements de reponses:

1) soit x,y de R+ alors

* ( f o d) (x,y) = 0 => f [ d(x,y) ] = 0 => d(x,y) = 0 => x=y car d est une distance sur E

* on a egalement ( f o d) (x,y) = f [ d(x,y) ] = f [ d(y,x) ] = ( f o d) (y,x)

* enfin on sait que d est une distance sur E donc d(x,z) < d(x,y) + d(y,z)
donc f [d(x,z)] < f [ d(x,y) + d(y,z) ] et d'apres la definititon de f on peut conclure que
f o d (x, z) < f o d(x, y) + f o d (y, z) .
conclusion f o d est une distance sur E.


2) je ne comprend pas bien cette question, dois je montrer que les trois distances
\sqrt{ | x - y | } ; \frac{ | x - y | }{1 + | x - y | } et la distance usuelle sont equivalentes?

[arnaud32]

il faut montrer que ce sont des distances et ensuite qu'elles sont equivalentes

[pierresimpore]

d'accord je comprend maintenant, merci pour votre aide je crois que je peux meme me servir de la premiere question et de la fonction f.

[arnaud32]

oui je crois que c'est le but

[pierresimpore]

Bonjour, j'ai reussi à montrer que les deux applications sont des distances mais je n'arrive pas à montrer qu'elles sont equivalentes.
On sait que deux distance sont equivalentes si elles ont la meme topologie c'est qu'elles ont le meme ouvert, puisqu'on est dans un espace metrique alors les ouverts sont un ensemble de boules ouvertes.

si je note d(1) = \sqrt{ | x - y | } et d(2) = | x - y | / ( 1 + | x - y | )
est ce que je dois montrer que les deux distances ont la meme boule?

[MouLou]

Tu dois montrer qu'en tout point x un voisinnage de x pour d1 est un voisinnage de x pour d2, et vice-versa.

Autremement dit une boule ouverte pour d1 centrée en x contient une boule ouverte pour d2 centrée en x , et vice versa.

Je ne pense pas avoir dit de betise je verifierai (notament est ce que centrée en x est necessaire?)

[pierresimpore]

je ne comprend pas quelque chose: si je montre que la premiere boule contient la deuxieme et inversement ( de meme centre ) cela signifierait que que les deux boules sont egales ( A inclus B et B inclus dans A ==> A=B non) donc par consequent les deux distances seront egales ce qui n'est pas le cas puisque d1 est different de d2. ( j'aimerais avoir une petite explication là dessus)

[MouLou]

je ne comprend pas quelque chose: si je montre que la premiere boule contient la deuxieme et inversement ( de meme centre ) cela signifierait que que les deux boules sont egales ( A inclus B et B inclus dans A ==> A=B non) donc par consequent les deux distances seront egales ce qui n'est pas le cas puisque d1 est different de d2. ( j'aimerais avoir une petite explication là dessus)

non, une boule qcq de d1 contient une autre boule de d2 . Puis apres tu prends une boule qcq pour d2, et elle contient une autre boule pour d1, ces boules ne sont pas les mêmes. Deux metriques équivalentes n'ont pas du tout les mêmes boules ouvertes mais les mêmes ouverts.

[pierresimpore]

Ok merci pour cette explication.
voici ce que je vois:
toute boule de centre a et de rayon r1 pour la distance d1 est B( a, r1 ) et soit x element de B( a, r2 ) pour la distance d2 alors
B( a, r2 ) = { x de E, d2( x, a) < r2 } il suffit de prendre r2 < r1 on aura alors

d2( x, a) < r2 < r1 donc x est egalement element de B( a, r1 ) ; la premiere boule est contient donc la deuxieme. meme raisonnement inversement

[MouLou]

Mets des indice aux d pour savoir de quelle distance tu parles, tu verras qu'il n'y a aucune raison pour que soit incluse dans lorsque , associée a la distance

[pierresimpore]

vous avez raison, j'ai mal vu les choses.
je vais continuer à reflechir... et poster ce que je trouverez.

[pierresimpore]

je n'arrive pas à montrer que la premiere boule contient la deuxieme. j'ai besoin d'un coup de pousse.