Distance d'un réel à l'ensemble des entiers

par **Styrix** » 29 Déc 2014, 17:49

Bonjour !

Une petite question dans un DM m'embête :

"Pour tout réel x, on appelle distance de x à Z, et on note d(x) la plus petite distance entre x et un entier : d(x)=min|x-p|
Monter que pour tout x dans R, 0=
Je trouve ça plutôt évident en fait (à moins que n'aie pas bien compris la notation), mais je ne vois pas comment démontrer ça rigoureusement.
J'ai pensé à l'absurde mais je ne vois pas comment cela peut aboutir, une récurrence ne serait pas judicieuse, en prenant des exemple ce n'est pas très rigoureux, par succession d'équivalences cela pourrait marcher, mais je ne sais pas de quel encadrement partir.

Pourriez-vous me donner un petit coup de pouce s'il vous plaît ?
Merci d'avance.

par **BiancoAngelo** » 29 Déc 2014, 17:53

Styrix a écrit:Bonjour !

Une petite question dans un DM m'embête :

"Pour tout réel x, on appelle distance de x à Z, et on note d(x) la plus petite distance entre x et un entier : d(x)=min|x-p|
Monter que pour tout x dans R, 0=<d(x)=<1/2"

Je trouve ça plutôt évident en fait (à moins que n'aie pas bien compris la notation), mais je ne vois pas comment démontrer ça rigoureusement.
J'ai pensé à l'absurde mais je ne vois pas comment cela peut aboutir, une récurrence ne serait pas judicieuse, en prenant des exemple ce n'est pas très rigoureux, par succession d'équivalences cela pourrait marcher, mais je ne sais pas de quel encadrement partir.

Pourriez-vous me donner un petit coup de pouce s'il vous plaît ?
Merci d'avance.

Bonjour, la partie entière d'un réel, ça te parle ?

Car c'est justement ça qui fait que c'est évident :lol3:

Ton coup de pouce est donc

!

Sachant que

.

par **Styrix** » 29 Déc 2014, 18:10

Merci beaucoup pour votre réponse (ultra) rapide, ça m'a aidé à avancer un peu.

En effet, j'arrive au résultat suivant :
0=
J'ai très bien compris d'où sort le zéro, mais je ne vois pas comment réduire 1 à 1/2 ?

par **BiancoAngelo** » 29 Déc 2014, 18:24

Styrix a écrit:Merci beaucoup pour votre réponse (ultra) rapide, ça m'a aidé à avancer un peu.

En effet, j'arrive au résultat suivant :
0=<d(x)<1

J'ai très bien compris d'où sort le zéro, mais je ne vois pas comment réduire 1 à 1/2 ?

Le 1/2 vient du fait qu'il faut choisir le meilleur entier entre les parties entières.

Sur un exemple, tu vas vite comprendre ce que tu dois écrire :

Si on prend

, on a alors :

et

.

et

.

On voit bien qu'il y en a toujours un qui est plus petit que 1/2...

par **BiancoAngelo** » 29 Déc 2014, 18:32

Si on regarde sur l'intervalle

, la fonction :

est croissante, vaut 0 en t=x et 1 en t= x+1.
Mais il ne faut pas oublier que :

est décroissante, vaut 1 en t=x et 0 en t= x+1.

Or, nous on cherche

.

(on a bien

ou

comme on prend la valeur absolue)

Pour quelles valeurs a - t -on :

?

Ca donne :

...

Et idem, si on regarde :

?

par **Luc** » 29 Déc 2014, 18:39

[quote="Styrix"]Merci beaucoup pour votre réponse (ultra) rapide, ça m'a aidé à avancer un peu.

En effet, j'arrive au résultat suivant :
0= 1/2[/TEX]. Alors

et

.
Or,

, c'est absurde (la somme de deux nombres > 1/2 fait 1).

Donc

Tout ça se comprend très bien sur un dessin. Tu peux dire aussi, mais c'est moins rigoureux, que l'un des entiers E(x) et E(x)+1 réalise la meilleure approximation, et que par le principe des tiroirs de Dirichlet l'un est au plus à distance 1/2 de x. (cf BiancoAngelo)

Luc

par **Styrix** » 29 Déc 2014, 20:46

Merci beaucoup pour vous réponses, c'est beaucoup plus clair ;)

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